MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnasuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnasuc 7384
Description: Addition with successor. Theorem 4I(A2) of [Enderton] p. 79. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnasuc ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 suc 𝐵) = suc (𝐴 +𝑜 𝐵))

Proof of Theorem nnasuc
StepHypRef Expression
1 nnon 6775 . 2 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2 onasuc 7307 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 suc 𝐵) = suc (𝐴 +𝑜 𝐵))
31, 2sylan 481 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 suc 𝐵) = suc (𝐴 +𝑜 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 378   = wceq 1468  wcel 1937  Oncon0 5474  suc csuc 5476  (class class class)co 6363  ωcom 6769   +𝑜 coa 7256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1698  ax-4 1711  ax-5 1789  ax-6 1836  ax-7 1883  ax-8 1939  ax-9 1946  ax-10 1965  ax-11 1970  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2485  ax-sep 4558  ax-nul 4567  ax-pow 4619  ax-pr 4680  ax-un 6659
This theorem depends on definitions:  df-bi 192  df-or 379  df-an 380  df-3or 1022  df-3an 1023  df-tru 1471  df-ex 1693  df-nf 1697  df-sb 1829  df-eu 2357  df-mo 2358  df-clab 2492  df-cleq 2498  df-clel 2501  df-nfc 2635  df-ne 2677  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3068  df-sbc 3292  df-csb 3386  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3758  df-if 3909  df-pw 3980  df-sn 3996  df-pr 3998  df-tp 4000  df-op 4002  df-uni 4229  df-iun 4309  df-br 4435  df-opab 4494  df-mpt 4495  df-tr 4531  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4801  df-so 4802  df-fr 4839  df-we 4841  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-pred 5431  df-ord 5477  df-on 5478  df-lim 5479  df-suc 5480  df-iota 5597  df-fun 5635  df-fn 5636  df-f 5637  df-f1 5638  df-fo 5639  df-f1o 5640  df-fv 5641  df-ov 6366  df-oprab 6367  df-mpt2 6368  df-om 6770  df-wrecs 7105  df-recs 7167  df-rdg 7205  df-oadd 7263
This theorem is referenced by:  nna0r  7387  nnacl  7389  nnacom  7395  nnaordi  7396  nnawordi  7399  nnaass  7400  nndi  7401  nnmsucr  7403  nnawordex  7415  nneob  7430  omopthlem1  7433  ackbij1lem14  8748  ackbij1lem18  8752  hashgadd  12674  finxpreclem4  32007
  Copyright terms: Public domain W3C validator