Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnacda Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnacda 9061
 Description: The cardinal and ordinal sums of finite ordinals are equal. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
nnacda ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 +𝑐 𝐵)) = (𝐴 +𝑜 𝐵))

Proof of Theorem nnacda
StepHypRef Expression
1 nnon 7113 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2 nnon 7113 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
3 onacda 9057 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵))
41, 2, 3syl2an 493 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵))
5 carden2b 8831 . . 3 ((𝐴 +𝑜 𝐵) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (card‘(𝐴 +𝑜 𝐵)) = (card‘(𝐴 +𝑐 𝐵)))
64, 5syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 +𝑜 𝐵)) = (card‘(𝐴 +𝑐 𝐵)))
7 nnacl 7736 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
8 cardnn 8827 . . 3 ((𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ ω → (card‘(𝐴 +𝑜 𝐵)) = (𝐴 +𝑜 𝐵))
97, 8syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 +𝑜 𝐵)) = (𝐴 +𝑜 𝐵))
106, 9eqtr3d 2687 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 +𝑐 𝐵)) = (𝐴 +𝑜 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  Oncon0 5761  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107   +𝑜 coa 7602   ≈ cen 7994  cardccrd 8799   +𝑐 ccda 9027 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028 This theorem is referenced by:  ackbij1lem5  9084  ackbij1lem9  9088
 Copyright terms: Public domain W3C validator