Theorem nnacan 7880

Description: Cancellation law for addition of natural numbers. (Contributed by NM, 27-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnacan	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem nnacan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaword 7879	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐶)))
2	1	3comr 1120	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐶)))
3		nnaword 7879	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐶 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
4	3	3com13 1119	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
5	2, 4	anbi12d 749	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) ↔ ((𝐴 +𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐶) ∧ (𝐴 +𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵))))
6	5	bicomd 213	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (((𝐴 +𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐶) ∧ (𝐴 +𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))
7		eqss 3760	. 2 ⊢ ((𝐴 +𝑜 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐶) ↔ ((𝐴 +𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐶) ∧ (𝐴 +𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
8		eqss 3760	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐶 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵))
9	6, 7, 8	3bitr4g 303	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ⊆ wss 3716  (class class class)co 6815  ωcom 7232   +_𝑜 coa 7728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-oadd 7735

This theorem is referenced by:  omopthi  7909  unfilem2  8393  ackbij1lem13  9267  ackbij1lem16  9270  addcanpi  9934