Theorem nn2m 7901

Description: Multiply an element of ω by 2_𝑜. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn2m	⊢ (𝐴 ∈ ω → (2𝑜 ·𝑜 𝐴) = (𝐴 +𝑜 𝐴))

Proof of Theorem nn2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 7891	. . 3 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
2		nnmcom 7877	. . 3 ⊢ ((2𝑜 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (2𝑜 ·𝑜 𝐴) = (𝐴 ·𝑜 2𝑜))
3	1, 2	mpan 708	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (2𝑜 ·𝑜 𝐴) = (𝐴 ·𝑜 2𝑜))
4		nnm2 7900	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 2𝑜) = (𝐴 +𝑜 𝐴))
5	3, 4	eqtrd 2794	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (2𝑜 ·𝑜 𝐴) = (𝐴 +𝑜 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  (class class class)co 6814  ωcom 7231  2_𝑜c2o 7724   +_𝑜 coa 7727   ·_𝑜 comu 7728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-omul 7735

This theorem is referenced by: (None)