Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn2ge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn2ge 11208
 Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nn2ge ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nn2ge
StepHypRef Expression
1 nnre 11190 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 472 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 nnre 11190 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
43adantl 473 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 leid 10296 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵𝐵)
65biantrud 529 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐵)))
76biimpa 502 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐵))
83, 7sylan 489 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐵))
9 breq2 4796 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥𝐴𝐵))
10 breq2 4796 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐵𝑥𝐵𝐵))
119, 10anbi12d 749 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴𝑥𝐵𝑥) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐵)))
1211rspcev 3437 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
138, 12syldan 488 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
1413adantll 752 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
15 leid 10296 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴𝐴)
1615anim1i 593 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐴𝐵𝐴))
171, 16sylan 489 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐴𝐵𝐴))
18 breq2 4796 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴𝑥𝐴𝐴))
19 breq2 4796 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵𝑥𝐵𝐴))
2018, 19anbi12d 749 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴𝑥𝐵𝑥) ↔ (𝐴𝐴𝐵𝐴)))
2120rspcev 3437 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐴𝐵𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
2217, 21syldan 488 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
2322adantlr 753 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
242, 4, 14, 23lecasei 10306 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  ∃wrex 3039   class class class wbr 4792  ℝcr 10098   ≤ cle 10238  ℕcn 11183 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-om 7219  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-nn 11184 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator