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Theorem nn0sumshdiglemB 42739
Description: Lemma for nn0sumshdig 42742 (induction step, odd multiplier). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumshdiglemB (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝑥,𝑦

Proof of Theorem nn0sumshdiglemB
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 11803 . . 3 (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ‘2)))
2 1t1e1 11213 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
32eqcomi 2660 . . . . . . . 8 1 = (1 · 1)
4 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 1 ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → 𝑎 = 1)
5 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 + 1) = (#b𝑎) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(#b𝑎)))
65eqcoms 2659 . . . . . . . . . . 11 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(#b𝑎)))
7 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 1 → (#b𝑎) = (#b‘1))
8 blen1 42703 . . . . . . . . . . . . . 14 (#b‘1) = 1
97, 8syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 1 → (#b𝑎) = 1)
109oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 1 → (0..^(#b𝑎)) = (0..^1))
11 fzo01 12590 . . . . . . . . . . . 12 (0..^1) = {0}
1210, 11syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 1 → (0..^(#b𝑎)) = {0})
136, 12sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = 1 ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → (0..^(𝑦 + 1)) = {0})
1413sumeq1d 14475 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = 1 ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
15 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 1 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)1))
1615oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 1 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)))
1716sumeq2sdv 14479 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 1 → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)))
18 c0ex 10072 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
19 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
2019, 19mulcli 10083 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 1) ∈ ℂ
21 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)1) = (0(digit‘2)1))
22 1ex 10073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ V
2322prid2 4330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ {0, 1}
24 0dig2pr01 42729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)1) = 1)
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(digit‘2)1) = 1
2621, 25syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)1) = 1)
27 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
28 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
29 exp0 12904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2↑0) = 1
3127, 30syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
3226, 31oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
3332sumsn 14519 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ V ∧ (1 · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
3418, 20, 33mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1)
3517, 34syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 1 → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
3635adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = 1 ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
3714, 36eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 1 ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
383, 4, 373eqtr4a 2711 . . . . . . 7 ((𝑎 = 1 ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
3938ex 449 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
4039a1d 25 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
41402a1d 26 . . . 4 (𝑎 = 1 → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
42 eluzge2nn0 11765 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ∈ ℕ0)
43 nn0ob 15147 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℕ0 → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
4443bicomd 213 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℕ0 → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
46 blennngt2o2 42711 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1))
4746ex 449 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
4845, 47sylbid 230 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
4948imp 444 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1))
50 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (#b𝑥) = (#b‘((𝑎 − 1) / 2)))
5150eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → ((#b𝑥) = 𝑦 ↔ (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦))
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → 𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2))
53 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (𝑘(digit‘2)𝑥) = (𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
5453oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))
5554sumeq2sdv 14479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))
5652, 55eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))))
5751, 56imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))))
5857rspcva 3338 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))))
59 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) ↔ (𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
60 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
6160ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
62 blennn0elnn 42696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ)
6362nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
6564ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
66 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℂ)
6761, 65, 66addcan2d 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) ↔ 𝑦 = (#b‘((𝑎 − 1) / 2))))
68 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ↔ (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦)
69 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
7069ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
71 fzval3 12576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℤ → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
7372eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0...𝑦))
7473sumeq1d 14475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
75 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
76 elnn0uz 11763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (ℤ‘0))
7775, 76sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ (ℤ‘0))
7877ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ (ℤ‘0))
79 2nn 11223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 ∈ ℕ
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
81 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
8281adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
83 nn0rp0 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ (0[,)+∞))
8442, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
8584adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
8685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
87 digvalnn0 42718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
8880, 82, 86, 87syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
8988ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
9089ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
9190imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
9291nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
93 2nn0 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 ∈ ℕ0
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 2 ∈ ℕ0)
95 elfznn0 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9694, 95nn0expcld 13071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
9796nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
9897adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
9992, 98mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
100 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (0(digit‘2)𝑎))
101100, 27oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)))
10230oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1)
103101, 102syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
10478, 99, 103fsum1p 14526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
10542adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
10642, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
107106biimparc 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
108 0dig2nn0o 42732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
109105, 107, 108syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
110109ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
111110oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = (1 · 1))
112111, 2syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 1)
113 1z 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 ∈ ℤ
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℤ)
115 0p1e1 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 + 1) = 1
116115, 113eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (0 + 1) ∈ ℤ
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0 + 1) ∈ ℤ)
11879a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
119 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
120119adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12142adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
122121, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
123118, 120, 122, 87syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
124123ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
125124adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
126125ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
127126imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
128127nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
129 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 2 ∈ ℂ)
130 elfznn 12408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ)
131130nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
132115oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((0 + 1)...𝑦) = (1...𝑦)
133131, 132eleq2s 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
134129, 133expcld 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
135134adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
136128, 135mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
137 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘(digit‘2)𝑎) = ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎))
138 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (2↑𝑘) = (2↑(𝑖 + 1)))
139137, 138oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
140114, 117, 70, 136, 139fsumshftm 14557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
141112, 140oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
14274, 104, 1413eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
143142adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
14479a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
145 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℤ)
146145adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑖 ∈ ℤ)
147 nn0rp0 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
148147adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
149148adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
150 digvalnn0 42718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ0)
151144, 146, 149, 150syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ0)
152151nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
153152ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ))
154153ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ))
155154imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
15693a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℕ0)
157 elfzonn0 12552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℕ0)
158156, 157nn0expcld 13071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℕ0)
159158nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
160159adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
161 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℂ)
162155, 160, 161mulassd 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
163162eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = (((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
164163sumeq2dv 14477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
165164adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
166 0cn 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 0 ∈ ℂ
167 pncan1 10492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (0 ∈ ℂ → ((0 + 1) − 1) = 0)
168166, 167ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((0 + 1) − 1) = 0
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 ∈ ℕ → ((0 + 1) − 1) = 0)
170169oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1)))
171 fzoval 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 ∈ ℤ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
17269, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∈ ℕ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
173170, 172eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
174173ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
175 simprlr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ (ℤ‘2))
176 elfznn0 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑖 ∈ (0...(𝑦 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
177168oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1))
178176, 177eleq2s 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
179 dignn0flhalf 42737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))))
180175, 178, 179syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))))
181 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ∈ ℤ)
182181adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℤ)
183 nn0z 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ)
184 zob 15130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑎 ∈ ℤ → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
185181, 184syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
186183, 185syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
187186imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ)
188182, 187jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
189188ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
190189ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
191190adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
192 zofldiv2 42650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑎 / 2)) = ((𝑎 − 1) / 2))
193191, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (⌊‘(𝑎 / 2)) = ((𝑎 − 1) / 2))
194193oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
195180, 194eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
196 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → 2 ∈ ℂ)
197196, 178expp1d 13049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
198197adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
199195, 198oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
200174, 199sumeq12dv 14481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
201200adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
202 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
203 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 = 𝑖 → (2↑𝑘) = (2↑𝑖))
204202, 203oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
205204cbvsumv 14470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖))
206205eqeq2i 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
207206biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
208207adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
209208oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
210 fzofi 12813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (0..^𝑦) ∈ Fin
211210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (0..^𝑦) ∈ Fin)
212 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → 2 ∈ ℂ)
213159adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
214152, 213mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
215214ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
216215adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
217216ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
218217imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
219211, 212, 218fsummulc1 14561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
220209, 219eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
221165, 201, 2203eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = (((𝑎 − 1) / 2) · 2))
222221oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)))
223 eluzelcn 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ∈ ℂ)
224 peano2cnm 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑎 ∈ ℂ → (𝑎 − 1) ∈ ℂ)
225223, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (𝑎 − 1) ∈ ℂ)
226 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
227 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 ≠ 0
228227a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≠ 0)
229225, 226, 2283jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
230229adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
231 divcan1 10732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (𝑎 − 1))
232230, 231syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (𝑎 − 1))
233232oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = (1 + (𝑎 − 1)))
234 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
235234, 223jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ))
236235adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ))
237 pncan3 10327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (1 + (𝑎 − 1)) = 𝑎)
238236, 237syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (1 + (𝑎 − 1)) = 𝑎)
239233, 238eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
240239adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
241240ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
242143, 222, 2413eqtrrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
243242ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) → (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
244243imim2i 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
245244com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
24668, 245syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑦 = (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
24767, 246sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
248247ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
249248com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
25059, 249sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
251250com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
252251com14 96 . . . . . . . . . . . . 13 (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
253252exp4c 635 . . . . . . . . . . . 12 (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (𝑦 ∈ ℕ → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
254253com35 98 . . . . . . . . . . 11 (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
25558, 254syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
256255ex 449 . . . . . . . . 9 (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))))
257256pm2.43a 54 . . . . . . . 8 (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
258257com25 99 . . . . . . 7 (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
259258impcom 445 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
26049, 259mpd 15 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
261260ex 449 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
26241, 261jaoi 393 . . 3 ((𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
2631, 262sylbi 207 . 2 (𝑎 ∈ ℕ → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
264263imp31 447 1 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  Vcvv 3231  {csn 4210  {cpr 4212  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  [,)cico 12215  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  cfl 12631  cexp 12900  Σcsu 14460  #bcblen 42688  digitcdig 42714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-logb 24548  df-blen 42689  df-dig 42715
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