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Theorem nn0sumshdiglemA 42921
Description: Lemma for nn0sumshdig 42925 (induction step, even multiplier). (Contributed by AV, 3-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumshdiglemA (((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝑥,𝑦

Proof of Theorem nn0sumshdiglemA
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11489 . . . 4 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ → (𝑎 / 2) ∈ ℕ0)
2 blennn0em1 42893 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1))
31, 2sylan2 492 . . 3 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) → (#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1))
4 fveq2 6350 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑎 / 2) → (#b𝑥) = (#b‘(𝑎 / 2)))
54eqeq1d 2760 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑎 / 2) → ((#b𝑥) = 𝑦 ↔ (#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦))
6 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑎 / 2) → 𝑥 = (𝑎 / 2))
7 oveq2 6819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑎 / 2) → (𝑘(digit‘2)𝑥) = (𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)))
87oveq1d 6826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑎 / 2) → ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)))
98adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = (𝑎 / 2) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)))
109sumeq2dv 14630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑎 / 2) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)))
116, 10eqeq12d 2773 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑎 / 2) → (𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) ↔ (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))))
125, 11imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑎 / 2) → (((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)))))
1312rspcva 3445 . . . . . . . . 9 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))))
14 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → (#b𝑎) = (𝑦 + 1))
1514oveq1d 6826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → ((#b𝑎) − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
16 nncn 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
17 pncan1 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
1915, 18sylan9eq 2812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) − 1) = 𝑦)
2019eqeq2d 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) ↔ (#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦))
21 nnz 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
2221adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
23 fzval3 12729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℤ → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
2524eqcomd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0...𝑦))
2625sumeq1d 14628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
27 nnnn0 11489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
28 elnn0uz 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (ℤ‘0))
2927, 28sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ (ℤ‘0))
3029adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (ℤ‘0))
31 2nn 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℕ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
33 elfzelz 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
3433adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
35 nnnn0 11489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℕ0)
36 nn0rp0 12470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ (0[,)+∞))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
3837ad4antlr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
39 digvalnn0 42901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
4032, 34, 38, 39syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
4140nn0cnd 11543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
42 2nn0 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℕ0
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 2 ∈ ℕ0)
44 elfznn0 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4543, 44nn0expcld 13223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
4645nn0cnd 11543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
4746adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
4841, 47mulcld 10250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
49 oveq1 6818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (0(digit‘2)𝑎))
50 oveq2 6819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
5149, 50oveq12d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)))
52 2cn 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℂ
53 exp0 13056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2↑0) = 1
5554oveq2i 6822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1)
5651, 55syl6eq 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
5730, 48, 56fsum1p 14679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
58 0dig2nn0e 42914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑎) = 0)
5935, 1, 58syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (0(digit‘2)𝑎) = 0)
6059oveq1d 6826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = (0 · 1))
61 1re 10229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ ℝ
62 mul02lem2 10403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 · 1) = 0
6460, 63syl6eq 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 0)
6564adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 0)
6665adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 0)
67 1z 11597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℤ
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
69 0p1e1 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 + 1) = 1
7069, 67eqeltri 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 + 1) ∈ ℤ
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + 1) ∈ ℤ)
7231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
73 elfzelz 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
7473adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7537ad4antlr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
7672, 74, 75, 39syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
7776nn0cnd 11543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
78 2cnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 2 ∈ ℂ)
79 elfznn 12561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ)
8079nnnn0d 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8169oveq1i 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 + 1)...𝑦) = (1...𝑦)
8280, 81eleq2s 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8378, 82expcld 13200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
8483adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
8577, 84mulcld 10250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
86 oveq1 6818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘(digit‘2)𝑎) = ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎))
87 oveq2 6819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (2↑𝑘) = (2↑(𝑖 + 1)))
8886, 87oveq12d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
8968, 71, 22, 85, 88fsumshftm 14710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
9066, 89oveq12d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) = (0 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
911ad4antr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑎 / 2) ∈ ℕ0)
9235ad4antlr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
93 elfzonn0 12705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℕ0)
9493adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
95 dignn0ehalf 42919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)))
9691, 92, 94, 95syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)))
97 2cnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℂ)
9897, 93expp1d 13201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
9998adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
10096, 99oveq12d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
10131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
102 elfzoelz 12662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℤ)
103102adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑖 ∈ ℤ)
104 nn0rp0 12470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑎 / 2) ∈ (0[,)+∞))
1051, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ → (𝑎 / 2) ∈ (0[,)+∞))
106105ad4antr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑎 / 2) ∈ (0[,)+∞))
107 digvalnn0 42901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑎 / 2) ∈ (0[,)+∞)) → (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℕ0)
108101, 103, 106, 107syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℕ0)
109108nn0cnd 11543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℂ)
110 2re 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 ∈ ℝ
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℝ)
112111, 93reexpcld 13217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℝ)
113112recnd 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
114113adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
115 2cnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℂ)
116 mulass 10214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑖) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
117116eqcomd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑖) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
118109, 114, 115, 117syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
119100, 118eqtrd 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
120119sumeq2dv 14630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
121 0cn 10222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 ∈ ℂ
122 pncan1 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 ∈ ℂ → ((0 + 1) − 1) = 0)
123121, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0 + 1) − 1) = 0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℕ → ((0 + 1) − 1) = 0)
125124oveq1d 6826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1)))
126 fzoval 12663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℤ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
127126eqcomd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℤ → (0...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
12821, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℕ → (0...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
129125, 128eqtrd 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
130129adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
131130sumeq1d 14628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
132131oveq2d 6827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = (0 + Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
133 fzofi 12965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0..^𝑦) ∈ Fin
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0..^𝑦) ∈ Fin)
135102peano2zd 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
136135adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
13737ad4antlr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
138 digvalnn0 42901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
139101, 136, 137, 138syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
140139nn0cnd 11543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
14142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℕ0)
142 peano2nn0 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
14393, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
144141, 143nn0expcld 13223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑(𝑖 + 1)) ∈ ℕ0)
145144nn0cnd 11543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
146145adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
147140, 146mulcld 10250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
148134, 147fsumcl 14661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
149148addid2d 10427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
150132, 149eqtrd 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
151 2cnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
152141, 93nn0expcld 13223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℕ0)
153152nn0cnd 11543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
154153adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
155109, 154mulcld 10250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
156134, 151, 155fsummulc1 14714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
157120, 150, 1563eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
15890, 157eqtrd 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
15926, 57, 1583eqtrd 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
160159adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
161 oveq1 6818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) = (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)))
162 oveq2 6819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = 𝑖 → (2↑𝑘) = (2↑𝑖))
163161, 162oveq12d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) = ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)))
164163cbvsumv 14623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖))
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)))
166165eqeq2d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ↔ (𝑎 / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖))))
167166biimpac 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑎 / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)))
168167eqcomd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) = (𝑎 / 2))
169168oveq1d 6826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = ((𝑎 / 2) · 2))
170 nncn 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℂ)
171 2cnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
172 2ne0 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ≠ 0
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
174170, 171, 173divcan1d 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎 / 2) · 2) = 𝑎)
175174ad3antlr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑎 / 2) · 2) = 𝑎)
176175adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / 2) · 2) = 𝑎)
177160, 169, 1763eqtrrd 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
178177ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) → (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
179178imim2i 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
180179com13 88 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
18120, 180sylbid 230 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
182181com23 86 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
183182exp31 631 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
184183com25 99 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
185184com14 96 . . . . . . . . 9 (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
18613, 185syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
187186ex 449 . . . . . . 7 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
188187com25 99 . . . . . 6 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 → (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
189188expdcom 454 . . . . 5 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ → (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))))
1901, 189mpid 44 . . . 4 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ → (𝑎 ∈ ℕ → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
191190impcom 445 . . 3 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
1923, 191mpd 15 . 2 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
193192imp 444 1 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930  wral 3048  cfv 6047  (class class class)co 6811  Fincfn 8119  cc 10124  cr 10125  0cc0 10126  1c1 10127   + caddc 10129   · cmul 10131  +∞cpnf 10261  cmin 10456   / cdiv 10874  cn 11210  2c2 11260  0cn0 11482  cz 11567  cuz 11877  [,)cico 12368  ...cfz 12517  ..^cfzo 12657  cexp 13052  Σcsu 14613  #bcblen 42871  digitcdig 42897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204  ax-addf 10205  ax-mulf 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-ixp 8073  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-fi 8480  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-ioo 12370  df-ioc 12371  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-fl 12785  df-mod 12861  df-seq 12994  df-exp 13053  df-fac 13253  df-bc 13282  df-hash 13310  df-shft 14004  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-limsup 14399  df-clim 14416  df-rlim 14417  df-sum 14614  df-ef 14995  df-sin 14997  df-cos 14998  df-pi 15000  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-ip 16159  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-hom 16166  df-cco 16167  df-rest 16283  df-topn 16284  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-topgen 16304  df-pt 16305  df-prds 16308  df-xrs 16362  df-qtop 16367  df-imas 16368  df-xps 16370  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-mulg 17740  df-cntz 17948  df-cmn 18393  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-fbas 19943  df-fg 19944  df-cnfld 19947  df-top 20899  df-topon 20916  df-topsp 20937  df-bases 20950  df-cld 21023  df-ntr 21024  df-cls 21025  df-nei 21102  df-lp 21140  df-perf 21141  df-cn 21231  df-cnp 21232  df-haus 21319  df-tx 21565  df-hmeo 21758  df-fil 21849  df-fm 21941  df-flim 21942  df-flf 21943  df-xms 22324  df-ms 22325  df-tms 22326  df-cncf 22880  df-limc 23827  df-dv 23828  df-log 24500  df-logb 24700  df-blen 42872  df-dig 42898
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