Theorem nn0ssz 11436

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 11331	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 11435	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 11426	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 10072	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4348	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 220	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 3821	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 3668	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2030   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  {csn 4210  0cc0 9974  ℕcn 11058  ℕ₀cn0 11330  ℤcz 11415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416

This theorem is referenced by:  nn0z  11438  nn0zi  11440  nn0zd  11518  nn0ssq  11834  nthruz  15026  oddnn02np1  15119  evennn02n  15121  bitsf1ocnv  15213  eucalg  15347  pclem  15590  0ram  15771  0ram2  15772  0ramcl  15774  gexex  18302  iscmet3lem3  23134  plyeq0lem  24011  dgrlem  24030  archirngz  29871  diophrw  37639  diophin  37653  diophun  37654  eq0rabdioph  37657  eqrabdioph  37658  rabdiophlem1  37682  diophren  37694  etransclem48  40817