MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ssre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ssre 11334
Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)
Assertion
Ref Expression
nn0ssre 0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre
StepHypRef Expression
1 df-n0 11331 . 2 0 = (ℕ ∪ {0})
2 nnssre 11062 . . 3 ℕ ⊆ ℝ
3 0re 10078 . . . 4 0 ∈ ℝ
4 snssi 4371 . . . 4 (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
53, 4ax-mp 5 . . 3 {0} ⊆ ℝ
62, 5unssi 3821 . 2 (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
71, 6eqsstri 3668 1 0 ⊆ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2030  cun 3605  wss 3607  {csn 4210  cr 9973  0cc0 9974  cn 11058  0cn0 11330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059  df-n0 11331
This theorem is referenced by:  nn0sscn  11335  nn0re  11339  nn0rei  11341  nn0red  11390  ssnn0fi  12824  fsuppmapnn0fiublem  12829  fsuppmapnn0fiub  12830  fsuppmapnn0fiubOLD  12831  hashxrcl  13186  ramtlecl  15751  ramcl2lem  15760  ramxrcl  15768  0ram2  15772  0ramcl  15774  mdegleb  23869  mdeglt  23870  mdegldg  23871  mdegxrcl  23872  mdegcl  23874  mdegaddle  23879  mdegmullem  23883  deg1mul3le  23921  plyeq0lem  24011  dgrval  24029  dgrcl  24034  dgrub  24035  dgrlb  24037  aannenlem2  24129  taylfval  24158  tgcgr4  25471  motcgrg  25484  dplti  29741  xrsmulgzz  29806  nn0omnd  29969  nn0archi  29971  esumcst  30253  oddpwdc  30544  breprexp  30839  lermxnn0  37834  hbtlem2  38011  ssnn0ssfz  42452
  Copyright terms: Public domain W3C validator