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Theorem nn0prpwlem 32442
Description: Lemma for nn0prpw 32443. Use strong induction to show that every positive integer has unique prime power divisors. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nn0prpwlem (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑝,𝐴

Proof of Theorem nn0prpwlem
Dummy variables 𝑚 𝑞 𝑟 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4689 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑘 < 𝑥𝑘 < 𝐴))
2 breq2 4689 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴))
32bibi2d 331 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
43notbid 307 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
542rexbidv 3086 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
61, 5imbi12d 333 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴))))
76ralbidv 3015 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴))))
8 breq2 4689 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝑘 < 𝑥𝑘 < 1))
9 breq2 4689 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1))
109bibi2d 331 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1)))
1110notbid 307 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1)))
12112rexbidv 3086 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1)))
138, 12imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1))))
1413ralbidv 3015 . . 3 (𝑥 = 1 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1))))
15 breq2 4689 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 < 𝑥𝑘 < 𝑦))
16 breq2 4689 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))
1716bibi2d 331 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))
1817notbid 307 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))
19182rexbidv 3086 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))
2015, 19imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))))
2120ralbidv 3015 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))))
22 nnnlt1 11088 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 𝑘 < 1)
2322pm2.21d 118 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1)))
2423rgen 2951 . . 3 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1))
25 exprmfct 15463 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞𝑥)
26 prmz 15436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℤ)
28 prmnn 15435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
2928nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ≠ 0)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑞 ≠ 0)
31 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ℕ → 𝑡 ∈ ℤ)
3231adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℤ)
33 dvdsval2 15030 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0 ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑞𝑡 ↔ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
3427, 30, 32, 33syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑞𝑡 ↔ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
3534biimpd 219 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑞𝑡 → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
36353ad2antl2 1244 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑞𝑡 → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
3736adantrl 752 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑡 → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
38 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
39 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ ℕ → 𝑡 ∈ ℝ)
40 nngt0 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ ℕ → 0 < 𝑡)
4139, 40jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡))
42 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℝ)
43 nngt0 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ ℕ → 0 < 𝑞)
4442, 43jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞))
4528, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞))
46 divgt0 10929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
4741, 45, 46syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
48473ad2antl2 1244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
4948adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
50 elnnz 11425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ↔ ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑡 / 𝑞)))
5138, 49, 50sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ)
5251expr 642 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ))
5352adantrl 752 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ))
5426adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑞 ∈ ℤ)
5529adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑞 ≠ 0)
56 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℤ)
5756adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
58 dvdsval2 15030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑞𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ))
5954, 55, 57, 58syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑞𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ))
60 eluzelre 11736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℝ)
61 2z 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℤ
6261eluz1i 11733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑥))
63 2pos 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 < 2
64 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
65 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ ℝ
66 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ
67 ltletr 10167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((0 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥))
6865, 66, 67mp3an12 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥))
6964, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℤ → ((0 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥))
7063, 69mpani 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑥 → 0 < 𝑥))
7170imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥)
7262, 71sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 𝑥)
7360, 72jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
74 divgt0 10929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → 0 < (𝑥 / 𝑞))
7573, 45, 74syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (𝑥 / 𝑞))
7675a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ → 0 < (𝑥 / 𝑞)))
7776ancld 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑥 / 𝑞))))
78 elnnz 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ↔ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑥 / 𝑞)))
7977, 78syl6ibr 242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ))
8059, 79sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑞𝑥 → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ))
8180ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞𝑥 → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ))
82 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑞) < 𝑥))
83 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (𝑘 < 𝑦𝑘 < (𝑥 / 𝑞)))
84 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑦 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
8584bibi2d 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
8685notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
87862rexbidv 3086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
8883, 87imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → ((𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)) ↔ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
8988ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
9082, 89imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → ((𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ↔ ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
9190rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
92913ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
9392adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
94 eluzelcn 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℂ)
9594mulid2d 10096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
9695ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
97 prmgt1 15456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 ∈ ℙ → 1 < 𝑞)
9897ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 1 < 𝑞)
99 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℝ)
10028nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℝ)
101100ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ)
10260ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10372ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 0 < 𝑥)
104 ltmul1 10911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (1 < 𝑞 ↔ (1 · 𝑥) < (𝑞 · 𝑥)))
10599, 101, 102, 103, 104syl112anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (1 < 𝑞 ↔ (1 · 𝑥) < (𝑞 · 𝑥)))
10698, 105mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (1 · 𝑥) < (𝑞 · 𝑥))
10796, 106eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑥 < (𝑞 · 𝑥))
10828, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 ∈ ℙ → 0 < 𝑞)
109108ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 0 < 𝑞)
110 ltdivmul 10936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥𝑥 < (𝑞 · 𝑥)))
111102, 102, 101, 109, 110syl112anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥𝑥 < (𝑞 · 𝑥)))
112107, 111mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑥 / 𝑞) < 𝑥)
113 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞)))
114 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
115114bibi1d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
116115notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
1171162rexbidv 3086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
118113, 117imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → ((𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) ↔ ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
119118rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
1201193ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
121120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
122393ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℝ)
123122adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑡 ∈ ℝ)
124 ltdiv1 10925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → (𝑡 < 𝑥 ↔ (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞)))
125123, 102, 101, 109, 124syl112anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑡 < 𝑥 ↔ (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞)))
126125biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞))
127 simprll 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → 𝑝 ∈ ℙ)
128 peano2nn 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
129128adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
130129ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
13126ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℤ)
132 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
133132ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
134 zexpcl 12915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑞𝑛) ∈ ℤ)
135131, 133, 134syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑛) ∈ ℤ)
136 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
1371363ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
138137ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
13929ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ≠ 0)
140 dvdsmulcr 15058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑞𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
141135, 138, 131, 139, 140syl112anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
14228nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℂ)
143142ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℂ)
144143, 133expp1d 13049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑞↑(𝑛 + 1)) = ((𝑞𝑛) · 𝑞))
145144eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑞𝑛) · 𝑞) = (𝑞↑(𝑛 + 1)))
146 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑡 ∈ ℕ → 𝑡 ∈ ℂ)
1471463ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℂ)
148147ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑡 ∈ ℂ)
149148, 143, 139divcan1d 10840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) = 𝑡)
150145, 149breq12d 4698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡))
151141, 150bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡))
152 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
1531523ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
154153ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
155 dvdsmulcr 15058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑞𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
156135, 154, 131, 139, 155syl112anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
15794ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
158157, 143, 139divcan1d 10840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) = 𝑥)
159145, 158breq12d 4698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
160156, 159bitr3d 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
161151, 160bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
162161notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
163162biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
164163impr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
165 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑞𝑚) = (𝑞↑(𝑛 + 1)))
166165breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡))
167165breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑞𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
168166, 167bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
169168notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
170169rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))
171130, 164, 170syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))
172 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝑛) = (𝑞𝑛))
173172breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
174172breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
175173, 174bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑝 = 𝑞 → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
176175notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑝 = 𝑞 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
177176anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑝 = 𝑞 → (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
178177anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑝 = 𝑞 → (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) ↔ ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
179 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝑚) = (𝑞𝑚))
180179breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑡))
181179breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))
182180, 181bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑝 = 𝑞 → (((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
183182notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑝 = 𝑞 → (¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
184183rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑝 = 𝑞 → (∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
185178, 184imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑝 = 𝑞 → ((((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)) ↔ (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))))
186171, 185mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑝 = 𝑞 → (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
187186com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (𝑝 = 𝑞 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
188 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞) → 𝑛 ∈ ℕ)
189188ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → 𝑛 ∈ ℕ)
190 prmz 15436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
191190adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
192191ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑝 ∈ ℤ)
193132adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
194193ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
195 zexpcl 12915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑝𝑛) ∈ ℤ)
196192, 194, 195syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑝𝑛) ∈ ℤ)
19726ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℤ)
198137ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
199 dvdsmultr2 15068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑝𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞))))
200196, 197, 198, 199syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞))))
201 gcdcom 15282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑝𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = (𝑞 gcd (𝑝𝑛)))
202196, 197, 201syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = (𝑞 gcd (𝑝𝑛)))
203 simp-4r 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℙ)
204 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
205 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℕ)
206 prmdvdsexpb 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝𝑛) ↔ 𝑞 = 𝑝))
207 equcom 1991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑞 = 𝑝𝑝 = 𝑞)
208206, 207syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝𝑛) ↔ 𝑝 = 𝑞))
209208biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝𝑛) → 𝑝 = 𝑞))
210203, 204, 205, 209syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑞 ∥ (𝑝𝑛) → 𝑝 = 𝑞))
211210con3d 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → ¬ 𝑞 ∥ (𝑝𝑛)))
212211impr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ¬ 𝑞 ∥ (𝑝𝑛))
213 simp-4r 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℙ)
214 coprm 15470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑝𝑛) ∈ ℤ) → (¬ 𝑞 ∥ (𝑝𝑛) ↔ (𝑞 gcd (𝑝𝑛)) = 1))
215213, 196, 214syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (¬ 𝑞 ∥ (𝑝𝑛) ↔ (𝑞 gcd (𝑝𝑛)) = 1))
216212, 215mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑞 gcd (𝑝𝑛)) = 1)
217202, 216eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1)
218 coprmdvds 15413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑝𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) ∧ ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
219196, 197, 198, 218syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) ∧ ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
220217, 219mpan2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
221200, 220impbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞))))
222147ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑡 ∈ ℂ)
223142ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℂ)
22429ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ≠ 0)
225222, 223, 224divcan2d 10841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) = 𝑡)
226225breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑡))
227221, 226bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑡))
228153ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
229 dvdsmultr2 15068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑝𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞))))
230196, 197, 228, 229syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞))))
231 coprmdvds 15413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑝𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) ∧ ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
232196, 197, 228, 231syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) ∧ ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
233217, 232mpan2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
234230, 233impbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞))))
23594ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
236235, 223, 224divcan2d 10841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) = 𝑥)
237236breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
238234, 237bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
239227, 238bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
240239notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
241240biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
242 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑚 = 𝑛 → (𝑝𝑚) = (𝑝𝑛))
243242breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑡))
244242breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
245243, 244bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
246245notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 = 𝑛 → (¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
247246rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))
248189, 241, 247syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))
249248ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
250249expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))))
251250com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))))
252251impr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
253187, 252pm2.61d 170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))
254 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑟 = 𝑝 → (𝑟𝑚) = (𝑝𝑚))
255254breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑟 = 𝑝 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑡))
256254breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑟 = 𝑝 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))
257255, 256bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑟 = 𝑝 → (((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
258257notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 = 𝑝 → (¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
259258rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑟 = 𝑝 → (∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
260259rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))
261127, 253, 260syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))
262261exp32 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
263262rexlimdvv 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
264126, 263embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → (((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
265264ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑡 < 𝑥 → (((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
266265com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
267121, 266syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
268112, 267embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
26993, 268syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
2702693exp2 1307 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))))))
27181, 270syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞𝑥 → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))))))
2722713impia 1280 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))))
273272com24 95 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 ∈ ℕ → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))))
274273imp32 448 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
27537, 53, 2743syld 60 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑡 → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
276 simpl2 1085 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → 𝑞 ∈ ℙ)
277 1nn 11069 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ
278277a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → 1 ∈ ℕ)
279142exp1d 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞↑1) = 𝑞)
280279breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑞↑1) ∥ 𝑡𝑞𝑡))
281280notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ ℙ → (¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ ¬ 𝑞𝑡))
282281biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑞𝑡) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
2832823ad2antl2 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ ¬ 𝑞𝑡) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
284283adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥)) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
285284adantrl 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
286279breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑞↑1) ∥ 𝑥𝑞𝑥))
287286biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (𝑞↑1) ∥ 𝑥)
2882873adant1 1099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (𝑞↑1) ∥ 𝑥)
289 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡) → ((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡)))
290288, 289mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡) → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
291290adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → (((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡) → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
292285, 291mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
293 biimpr 210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥) → ((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
294292, 293nsyl 135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥))
295 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑞 → (𝑟𝑚) = (𝑞𝑚))
296295breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑞 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑡))
297295breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑞 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))
298296, 297bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑞 → (((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
299298notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑞 → (¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
300 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 1 → (𝑞𝑚) = (𝑞↑1))
301300breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 1 → ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
302300breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 1 → ((𝑞𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥))
303301, 302bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 1 → (((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥)))
304303notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 1 → (¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥)))
305299, 304rspc2ev 3355 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))
306276, 278, 294, 305syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))
307306expr 642 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
308307expd 451 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (¬ 𝑞𝑡 → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
309308adantrl 752 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑞𝑡 → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
310275, 309pm2.61d 170 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
311310expr 642 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))) → (𝑡 ∈ ℕ → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
312311ralrimiv 2994 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))) → ∀𝑡 ∈ ℕ (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
313 breq1 4688 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑘 → (𝑡 < 𝑥𝑘 < 𝑥))
314 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑘 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑘))
315314bibi1d 332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑘 → (((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
316315notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑘 → (¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
3173162rexbidv 3086 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑘 → (∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
318254breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑝 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑘))
319318, 256bibi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑝 → (((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
320319notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑝 → (¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
321242breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑘))
322321, 244bibi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
323322notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
324320, 323cbvrex2v 3210 . . . . . . . . . 10 (∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
325317, 324syl6bb 276 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑘 → (∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
326313, 325imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑘 → ((𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))))
327326cbvralv 3201 . . . . . . 7 (∀𝑡 ∈ ℕ (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
328312, 327sylib 208 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
3293283exp1 1305 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞𝑥 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))))))
330329rexlimdv 3059 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞𝑥 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))))
33125, 330mpd 15 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))))
33214, 21, 24, 331indstr2 11805 . 2 (𝑥 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
3337, 332vtoclga 3303 1 (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  cexp 12900  cdvds 15027   gcd cgcd 15263  cprime 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433
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