MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0p1nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0p1nn 11516
Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 11216. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0p1nn (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn
StepHypRef Expression
1 1nn 11215 . 2 1 ∈ ℕ
2 nn0nnaddcl 11508 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
31, 2mpan2 709 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2131  (class class class)co 6805  1c1 10121   + caddc 10123  cn 11204  0cn0 11476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-ltxr 10263  df-nn 11205  df-n0 11477
This theorem is referenced by:  elnn0nn  11519  elz2  11578  peano5uzi  11650  fseq1p1m1  12599  fzonn0p1  12731  nn0ennn  12964  expnbnd  13179  faccl  13256  facdiv  13260  facwordi  13262  faclbnd  13263  facubnd  13273  bcm1k  13288  bcp1n  13289  bcp1nk  13290  bcpasc  13294  hashf1  13425  fz1isolem  13429  wrdind  13668  wrd2ind  13669  ccats1swrdeqbi  13690  isercoll  14589  isercoll2  14590  iseralt  14606  bcxmas  14758  climcndslem1  14772  fprodser  14870  fallfacval4  14965  bpolycl  14974  bpolysum  14975  bpolydiflem  14976  fsumkthpow  14978  efcllem  14999  ruclem7  15156  ruclem8  15157  ruclem9  15158  sadcp1  15371  smupp1  15396  prmfac1  15625  iserodd  15734  pcfac  15797  1arith  15825  4sqlem12  15854  vdwlem11  15889  vdwlem12  15890  vdwlem13  15891  ramub1  15926  ramcl  15927  prmop1  15936  sylow1lem1  18205  efgsrel  18339  efgsp1  18342  lebnumii  22958  lmnn  23253  vitalilem4  23571  plyco  24188  dgrcolem2  24221  dgrco  24222  advlogexp  24592  cxpmul2  24626  atantayl3  24857  leibpilem2  24859  leibpi  24860  leibpisum  24861  log2cnv  24862  log2tlbnd  24863  log2ublem2  24865  log2ub  24867  birthdaylem2  24870  harmoniclbnd  24926  harmonicbnd4  24928  fsumharmonic  24929  facgam  24983  chpp1  25072  chtublem  25127  bcmono  25193  bcp1ctr  25195  gausslemma2dlem3  25284  2lgslem1a  25307  chtppilimlem1  25353  rplogsumlem2  25365  rpvmasumlem  25367  dchrisumlema  25368  dchrisumlem1  25369  dchrisum0flblem1  25388  dchrisum0lem1b  25395  dchrisum0lem1  25396  dchrisum0lem3  25399  selberg2lem  25430  pntrsumo1  25445  pntrlog2bndlem2  25458  pntrlog2bndlem4  25460  pntrlog2bndlem6a  25462  pntpbnd1  25466  pntpbnd2  25467  pntlemg  25478  pntlemj  25483  pntlemf  25485  qabvle  25505  ostth2lem2  25514  wlkonwlk1l  26761  wwlksnred  27002  wwlksnredwwlkn  27005  wwlksnredwwlkn0  27006  wwlksnwwlksnon  27025  wwlksnwwlksnonOLD  27027  minvecolem3  28033  minvecolem4  28037  archiabllem1a  30046  lmatfvlem  30182  signshnz  30969  subfacval2  31468  erdsze2lem2  31485  cvmliftlem7  31572  faclimlem1  31928  faclimlem2  31929  faclimlem3  31930  faclim  31931  faclim2  31933  poimirlem3  33717  poimirlem4  33718  poimirlem12  33726  poimirlem15  33729  poimirlem16  33730  poimirlem17  33731  poimirlem19  33733  poimirlem20  33734  poimirlem23  33737  poimirlem24  33738  poimirlem25  33739  poimirlem28  33742  poimirlem29  33743  poimirlem31  33745  heiborlem4  33918  heiborlem6  33920  diophin  37830  rexrabdioph  37852  2rexfrabdioph  37854  3rexfrabdioph  37855  4rexfrabdioph  37856  6rexfrabdioph  37857  7rexfrabdioph  37858  elnn0rabdioph  37861  dvdsrabdioph  37868  irrapxlem4  37883  irrapxlem5  37884  2nn0ind  38004  jm2.27a  38066  itgpowd  38294  bccp1k  39034  binomcxplemrat  39043  binomcxplemfrat  39044  recnnltrp  40083  rpgtrecnn  40087  wallispilem3  40779  stirlinglem5  40790  vonioolem1  41392  ccats1pfxeqrex  41924  ccats1pfxeqbi  41933  fllog2  42864  blennnelnn  42872  dignn0flhalflem2  42912
  Copyright terms: Public domain W3C validator