MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0p1elfzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0p1elfzo 12718
Description: A nonnegative integer increased by 1 which is less than or equal to another integer is an element of a half-open range of integers. (Contributed by AV, 27-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
nn0p1elfzo ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem nn0p1elfzo
StepHypRef Expression
1 nn0ltp1le 11636 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁))
21biimp3ar 1580 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
3 simpl1 1226 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54adantr 466 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 nn0ge0 11519 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
76adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
8 0re 10241 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
9 nn0re 11502 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
10 nn0re 11502 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
11 lelttr 10329 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
128, 9, 10, 11mp3an3an 1577 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
137, 12mpand 667 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
1413imp 393 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
15 elnnnn0b 11538 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
165, 14, 15sylanbrc 564 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
17163adantl3 1172 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
18 simpr 471 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
193, 17, 183jca 1121 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
202, 19mpdan 659 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
21 elfzo0 12716 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2220, 21sylibr 224 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070  wcel 2144   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   < clt 10275  cle 10276  cn 11221  0cn0 11493  ..^cfzo 12672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673
This theorem is referenced by:  wwlksnextproplem1  27051  eupth2lem3  27413
  Copyright terms: Public domain W3C validator