Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0o1gt2ALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0o1gt2ALTV 42133
Description: An odd nonnegative integer is either 1 or greater than 2. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.) (Revised by AV, 21-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0o1gt2ALTV ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))

Proof of Theorem nn0o1gt2ALTV
StepHypRef Expression
1 elnn0 11506 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 elnn1uz2 11978 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
3 orc 399 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
43a1d 25 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
5 2z 11621 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
65eluz1i 11907 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
7 2re 11302 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
9 zre 11593 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
108, 9leloed 10392 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
11 olc 398 . . . . . . . . . . 11 (2 < 𝑁 → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
1211a1d 25 . . . . . . . . . 10 (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
13 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 2 ∈ Odd ))
1413eqcoms 2768 . . . . . . . . . . 11 (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 2 ∈ Odd ))
15 2noddALTV 42132 . . . . . . . . . . . 12 2 ∉ Odd
16 df-nel 3036 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∉ Odd ↔ ¬ 2 ∈ Odd )
17 pm2.21 120 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ 2 ∈ Odd → (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
1816, 17sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∉ Odd → (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
1915, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
2014, 19syl6bi 243 . . . . . . . . . 10 (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
2112, 20jaoi 393 . . . . . . . . 9 ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
2210, 21syl6bi 243 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))))
2322imp 444 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
246, 23sylbi 207 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
254, 24jaoi 393 . . . . 5 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
262, 25sylbi 207 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
27 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd ↔ 0 ∈ Odd ))
28 0noddALTV 42128 . . . . . 6 0 ∉ Odd
29 df-nel 3036 . . . . . . 7 (0 ∉ Odd ↔ ¬ 0 ∈ Odd )
30 pm2.21 120 . . . . . . 7 (¬ 0 ∈ Odd → (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3129, 30sylbi 207 . . . . . 6 (0 ∉ Odd → (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3228, 31ax-mp 5 . . . . 5 (0 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
3327, 32syl6bi 243 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3426, 33jaoi 393 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
351, 34sylbi 207 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁)))
3635imp 444 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wnel 3035   class class class wbr 4804  cfv 6049  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   < clt 10286  cle 10287  cn 11232  2c2 11282  0cn0 11504  cz 11589  cuz 11899   Odd codd 42066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-even 42067  df-odd 42068
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator