MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0o 15322
Description: An alternate characterization of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-May-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0o ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0o
StepHypRef Expression
1 nn0o1gt2 15320 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
2 1m1e0 11302 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
32oveq1i 6825 . . . . . . 7 ((1 − 1) / 2) = (0 / 2)
4 2cn 11304 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
5 2ne0 11326 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
64, 5div0i 10972 . . . . . . 7 (0 / 2) = 0
73, 6eqtri 2783 . . . . . 6 ((1 − 1) / 2) = 0
8 0nn0 11520 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
97, 8eqeltri 2836 . . . . 5 ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0
10 oveq1 6822 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
1110oveq1d 6830 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → ((𝑁 − 1) / 2) = ((1 − 1) / 2))
1211eleq1d 2825 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
1312adantr 472 . . . . 5 ((𝑁 = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
149, 13mpbiri 248 . . . 4 ((𝑁 = 1 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
1514ex 449 . . 3 (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
16 2z 11622 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
1716a1i 11 . . . . . . 7 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 2 ∈ ℤ)
18 nn0z 11613 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
1918ad2antrl 766 . . . . . . 7 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 2re 11303 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
21 nn0re 11514 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
22 ltle 10339 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
2320, 21, 22sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
2423adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (2 < 𝑁 → 2 ≤ 𝑁))
2524impcom 445 . . . . . . 7 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 2 ≤ 𝑁)
26 eluz2 11906 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
2717, 19, 25, 26syl3anbrc 1429 . . . . . 6 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
28 simprr 813 . . . . . 6 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
2927, 28jca 555 . . . . 5 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
30 nno 15321 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
31 nnnn0 11512 . . . . 5 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
3229, 30, 313syl 18 . . . 4 ((2 < 𝑁 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
3332ex 449 . . 3 (2 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
3415, 33jaoi 393 . 2 ((𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
351, 34mpcom 38 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140   class class class wbr 4805  cfv 6050  (class class class)co 6815  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   < clt 10287  cle 10288  cmin 10479   / cdiv 10897  cn 11233  2c2 11283  0cn0 11505  cz 11590  cuz 11900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901
This theorem is referenced by:  nn0ob  15323  nn0onn0ex  42847  nneom  42850  flnn0div2ge  42856  flnn0ohalf  42857
  Copyright terms: Public domain W3C validator