Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0lt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0lt2 11478
 Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0lt2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Proof of Theorem nn0lt2
StepHypRef Expression
1 olc 398 . . 3 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
21a1d 25 . 2 (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
3 nn0z 11438 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
4 2z 11447 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
5 zltlem1 11468 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
63, 4, 5sylancl 695 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
7 2m1e1 11173 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
87breq2i 4693 . . . . . 6 (𝑁 ≤ (2 − 1) ↔ 𝑁 ≤ 1)
96, 8syl6bb 276 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ 1))
10 necom 2876 . . . . . 6 (𝑁 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 𝑁)
11 nn0re 11339 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
12 1re 10077 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
13 ltlen 10176 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
1411, 12, 13sylancl 695 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
15 nn0lt10b 11477 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
1615biimpa 500 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 1) → 𝑁 = 0)
1716orcd 406 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 1) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
1817ex 449 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
1914, 18sylbird 250 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
2019expd 451 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (1 ≠ 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
2110, 20syl7bi 245 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
229, 21sylbid 230 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
2322imp 444 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
2423com12 32 . 2 (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
252, 24pm2.61ine 2906 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator