Theorem nn0ge0 11531

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11507	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 11262	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 539	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 207	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 10253	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 11514	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 10337	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 698	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 247	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   class class class wbr 4805  ℝcr 10148  0cc0 10149   < clt 10287   ≤ cle 10288  ℕcn 11233  ℕ₀cn0 11505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-n0 11506

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  11532  nn0ge0i  11533  nn0le0eq0  11534  nn0p1gt0  11535  0mnnnnn0  11538  nn0addge1  11552  nn0addge2  11553  nn0negleid  11558  nn0ge0d  11567  nn0ge0div  11659  xnn0ge0  12181  nn0pnfge0OLD  12182  xnn0xadd0  12291  nn0rp0  12493  xnn0xrge0  12539  0elfz  12651  fz0fzelfz0  12660  fz0fzdiffz0  12663  fzctr  12666  difelfzle  12667  fzoun  12720  nn0p1elfzo  12726  elfzodifsumelfzo  12749  fvinim0ffz  12802  subfzo0  12805  adddivflid  12834  modmuladdnn0  12929  addmodid  12933  modifeq2int  12947  modfzo0difsn  12957  bernneq  13205  bernneq3  13207  faclbnd  13292  faclbnd6  13301  facubnd  13302  bcval5  13320  hashneq0  13368  fi1uzind  13492  brfi1indALT  13495  ccat0  13569  ccat2s1fvw  13635  repswswrd  13752  rprisefaccl  14974  dvdseq  15259  evennn02n  15297  nn0ehalf  15318  nn0oddm1d2  15324  bitsinv1  15387  smuval2  15427  gcdn0gt0  15462  nn0gcdid0  15465  absmulgcd  15489  algcvgblem  15513  algcvga  15515  lcmgcdnn  15547  lcmfun  15581  lcmfass  15582  nonsq  15690  hashgcdlem  15716  odzdvds  15723  pcfaclem  15825  coe1sclmul  19875  coe1sclmul2  19877  prmirredlem  20064  prmirred  20066  fvmptnn04ifb  20879  mdegle0  24057  plypf1  24188  dgrlt  24242  fta1  24283  taylfval  24333  eldmgm  24969  basellem3  25030  bcmono  25223  lgsdinn0  25291  dchrisumlem1  25399  dchrisumlem2  25400  wwlksnextwrd  27037  wwlksnextfun  27038  wwlksnextinj  27039  wwlksnextproplem2  27050  wwlksnextproplem3  27051  nn0sqeq1  29844  xrsmulgzz  30009  hashf2  30477  hasheuni  30478  reprinfz1  31031  faclimlem1  31958  rrntotbnd  33967  pell14qrgt0  37944  pell1qrgaplem  37958  monotoddzzfi  38028  jm2.17a  38048  jm2.22  38083  rmxdiophlem  38103  wallispilem3  40806  stirlinglem7  40819  elfz2z  41854  fz0addge0  41858  elfzlble  41859  2ffzoeq  41867  iccpartigtl  41888  sqrtpwpw2p  41979  flsqrt  42037  nn0e  42137  nn0sumltlt  42657  nn0eo  42851  fllog2  42891  dignn0fr  42924  dignnld  42926  dig1  42931