Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0eo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0eo 42832
Description: A nonnegative integer is even or odd. (Contributed by AV, 27-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0eo (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem nn0eo
StepHypRef Expression
1 nn0z 11592 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
2 zeo 11655 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4 simpr 479 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
5 nn0re 11493 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
6 nn0ge0 11510 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
7 2re 11282 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
9 2pos 11304 . . . . . . . 8 0 < 2
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
11 divge0 11084 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (𝑁 / 2))
125, 6, 8, 10, 11syl22anc 1478 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 / 2))
1312adantr 472 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑁 / 2))
14 elnn0z 11582 . . . . 5 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 / 2)))
154, 13, 14sylanbrc 701 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)
1615ex 449 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0))
17 simpr 479 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
18 peano2nn0 11525 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1918nn0red 11544 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
20 1red 10247 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
21 0le1 10743 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 1)
235, 20, 6, 22addge0d 10795 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
24 divge0 11084 . . . . . . 7 ((((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2))
2519, 23, 8, 10, 24syl22anc 1478 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2))
2625adantr 472 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2))
27 elnn0z 11582 . . . . 5 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2)))
2817, 26, 27sylanbrc 701 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
2928ex 449 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
3016, 29orim12d 919 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)))
313, 30mpd 15 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266  cle 10267   / cdiv 10876  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570
This theorem is referenced by:  flnn0div2ge  42837  dignn0flhalf  42922
  Copyright terms: Public domain W3C validator