Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0enn0exALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0enn0exALTV 42139
 Description: For each even nonnegative integer there is a nonnegative integer which, multiplied by 2, results in the even nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.) (Revised by AV, 22-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0enn0exALTV ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑁 = (2 · 𝑚))
Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem nn0enn0exALTV
StepHypRef Expression
1 nn0e 42137 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)
2 oveq2 6823 . . . 4 (𝑚 = (𝑁 / 2) → (2 · 𝑚) = (2 · (𝑁 / 2)))
32eqeq2d 2771 . . 3 (𝑚 = (𝑁 / 2) → (𝑁 = (2 · 𝑚) ↔ 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2))))
43adantl 473 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Even ) ∧ 𝑚 = (𝑁 / 2)) → (𝑁 = (2 · 𝑚) ↔ 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2))))
5 nn0cn 11515 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
6 2cnd 11306 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
7 2ne0 11326 . . . . 5 2 ≠ 0
87a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
9 divcan2 10906 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
109eqcomd 2767 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2)))
115, 6, 8, 10syl3anc 1477 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = (2 · (𝑁 / 2)))
1211adantr 472 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Even ) → 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2)))
131, 4, 12rspcedvd 3457 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑁 = (2 · 𝑚))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ≠ wne 2933  ∃wrex 3052  (class class class)co 6815  ℂcc 10147  0cc0 10149   · cmul 10154   / cdiv 10897  2c2 11283  ℕ0cn0 11505   Even ceven 42066 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-even 42068 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator