MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0disj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0disj 12620
Description: The first 𝑁 + 1 elements of the set of nonnegative integers are distinct from any later members. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nn0disj ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ∅

Proof of Theorem nn0disj
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3927 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
21simprbi 483 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
3 eluzle 11863 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
5 eluzel2 11855 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
62, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
7 eluzelz 11860 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
82, 7syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
9 zlem1lt 11592 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
106, 8, 9syl2anc 696 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
114, 10mpbid 222 . . . 4 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘)
121simplbi 478 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
13 elfzle2 12509 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘𝑁)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑁)
158zred 11645 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
16 elfzel2 12504 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
1716adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
181, 17sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
1918zred 11645 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
2015, 19lenltd 10346 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑘𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑘))
2118zcnd 11646 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
22 pncan1 10617 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2423eqcomd 2754 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
2524breq1d 4802 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 < 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
2625notbid 307 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (¬ 𝑁 < 𝑘 ↔ ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
2720, 26bitrd 268 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑘𝑁 ↔ ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
2814, 27mpbid 222 . . . 4 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘)
2911, 28pm2.21dd 186 . . 3 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ∅)
3029ssriv 3736 . 2 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ ∅
31 ss0 4105 . 2 (((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ⊆ ∅ → ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ∅)
3230, 31ax-mp 5 1 ((0...𝑁) ∩ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  cin 3702  wss 3703  c0 4046   class class class wbr 4792  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   < clt 10237  cle 10238  cmin 10429  cz 11540  cuz 11850  ...cfz 12490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491
This theorem is referenced by:  chfacfscmulgsum  20838  chfacfpmmulgsum  20842  nnuzdisj  40038
  Copyright terms: Public domain W3C validator