MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn01to3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn01to3 11983
Description: A (nonnegative) integer between 1 and 3 must be 1, 2 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn01to3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))

Proof of Theorem nn01to3
StepHypRef Expression
1 3mix3 1414 . . 3 (𝑁 = 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
21a1d 25 . 2 (𝑁 = 3 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
3 nn0re 11501 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
433ad2ant1 1125 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → 𝑁 ∈ ℝ)
5 3re 11294 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → 3 ∈ ℝ)
7 simp3 1130 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → 𝑁 ≤ 3)
84, 6, 7leltned 10390 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 < 3 ↔ 3 ≠ 𝑁))
9 nesym 2997 . . . . . . . 8 (3 ≠ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 = 3)
108, 9syl6rbb 277 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (¬ 𝑁 = 3 ↔ 𝑁 < 3))
11 elnnnn0c 11538 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
12 orc 399 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
1312a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
1413a1d 25 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))))
15 eluz2b3 11964 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
16 eluz2 11893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
17 2a1 28 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = 2 → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
18 zre 11581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
19 zre 11581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 ≤ 𝑁 → 2 ≤ 𝑁)
21 leltne 10327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁𝑁 ≠ 2))
2218, 19, 20, 21syl3an 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁𝑁 ≠ 2))
23 2z 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℤ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → 2 ∈ ℤ)
25 simpr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → 2 < 𝑁)
26 df-3 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 = (2 + 1)
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℤ → 3 = (2 + 1))
2827breq2d 4795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 < (2 + 1)))
2928biimpa 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) → 𝑁 < (2 + 1))
3029adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 < (2 + 1))
31 btwnnz 11653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 < 𝑁𝑁 < (2 + 1)) → ¬ 𝑁 ∈ ℤ)
3224, 25, 30, 31syl3anc 1474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → ¬ 𝑁 ∈ ℤ)
3332pm2.21d 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 3) ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = 2))
3433exp31 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = 2))))
3534com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))))
3635pm2.43i 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
37363ad2ant2 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
3822, 37sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 ≠ 2 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
3938com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ≠ 2 → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
4017, 39pm2.61ine 3024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
4116, 40sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
4241imp 443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 < 3) → 𝑁 = 2)
4342olcd 407 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 < 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
4443ex 448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
4515, 44sylbir 225 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
4645expcom 449 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))))
4714, 46pm2.61ine 3024 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
4811, 47sylbir 225 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
49483adant3 1124 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 < 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
5010, 49sylbid 230 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (¬ 𝑁 = 3 → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2)))
5150impcom 444 . . . . 5 ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3)) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2))
5251orcd 406 . . . 4 ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3)) → ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) ∨ 𝑁 = 3))
53 df-3or 1070 . . . 4 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ↔ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2) ∨ 𝑁 = 3))
5452, 53sylibr 224 . . 3 ((¬ 𝑁 = 3 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3)) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
5554ex 448 . 2 𝑁 = 3 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
562, 55pm2.61i 176 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ 3) → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3o 1068  w3a 1069   = wceq 1629  wcel 2143  wne 2941   class class class wbr 4783  cfv 6030  (class class class)co 6791  cr 10135  1c1 10137   + caddc 10139   < clt 10274  cle 10275  cn 11220  2c2 11270  3c3 11271  0cn0 11492  cz 11577  cuz 11887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11888
This theorem is referenced by:  hash1to3  13478
  Copyright terms: Public domain W3C validator