MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmzsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmzsubg 17843
Description: The normalizer NG(S) of a subset 𝑆 of the group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elnmz.1 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
nmzsubg.2 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmzsubg.3 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmzsubg (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmzsubg
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnmz.1 . . . 4 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
2 ssrab2 3836 . . . 4 {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)} ⊆ 𝑋
31, 2eqsstri 3784 . . 3 𝑁𝑋
43a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁𝑋)
5 nmzsubg.2 . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
6 eqid 2771 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
75, 6grpidcl 17658 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
8 nmzsubg.3 . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
95, 8, 6grplid 17660 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → ((0g𝐺) + 𝑧) = 𝑧)
105, 8, 6grprid 17661 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 + (0g𝐺)) = 𝑧)
119, 10eqtr4d 2808 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → ((0g𝐺) + 𝑧) = (𝑧 + (0g𝐺)))
1211eleq1d 2835 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (((0g𝐺) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (0g𝐺)) ∈ 𝑆))
1312ralrimiva 3115 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑧𝑋 (((0g𝐺) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (0g𝐺)) ∈ 𝑆))
141elnmz 17841 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝑁 ↔ ((0g𝐺) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (((0g𝐺) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (0g𝐺)) ∈ 𝑆)))
157, 13, 14sylanbrc 572 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑁)
16 ne0i 4069 . . 3 ((0g𝐺) ∈ 𝑁𝑁 ≠ ∅)
1715, 16syl 17 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ≠ ∅)
18 id 22 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
193sseli 3748 . . . . . . . 8 (𝑧𝑁𝑧𝑋)
203sseli 3748 . . . . . . . 8 (𝑤𝑁𝑤𝑋)
215, 8grpcl 17638 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋𝑤𝑋) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑋)
2218, 19, 20, 21syl3an 1163 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑋)
23 simpl1 1227 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
24 simpl2 1229 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑧𝑁)
253, 24sseldi 3750 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑧𝑋)
26 simpl3 1231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑤𝑁)
273, 26sseldi 3750 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑤𝑋)
28 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑢𝑋)
295, 8grpass 17639 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋𝑢𝑋)) → ((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) = (𝑧 + (𝑤 + 𝑢)))
3023, 25, 27, 28, 29syl13anc 1478 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) = (𝑧 + (𝑤 + 𝑢)))
3130eleq1d 2835 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆))
325, 8grpcl 17638 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑤𝑋𝑢𝑋) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝑋)
3323, 27, 28, 32syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝑋)
341nmzbi 17842 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑁 ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) ∈ 𝑆))
3524, 33, 34syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) ∈ 𝑆))
365, 8grpass 17639 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑤𝑋𝑢𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) = (𝑤 + (𝑢 + 𝑧)))
3723, 27, 28, 25, 36syl13anc 1478 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) = (𝑤 + (𝑢 + 𝑧)))
3837eleq1d 2835 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + (𝑢 + 𝑧)) ∈ 𝑆))
395, 8grpcl 17638 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝑋𝑧𝑋) → (𝑢 + 𝑧) ∈ 𝑋)
4023, 28, 25, 39syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + 𝑧) ∈ 𝑋)
411nmzbi 17842 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝑁 ∧ (𝑢 + 𝑧) ∈ 𝑋) → ((𝑤 + (𝑢 + 𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆))
4226, 40, 41syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑤 + (𝑢 + 𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆))
4335, 38, 423bitrd 294 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆))
445, 8grpass 17639 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢𝑋𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)))
4523, 28, 25, 27, 44syl13anc 1478 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)))
4645eleq1d 2835 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆))
4731, 43, 463bitrd 294 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆))
4847ralrimiva 3115 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) → ∀𝑢𝑋 (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆))
491elnmz 17841 . . . . . . 7 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ↔ ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢𝑋 (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆)))
5022, 48, 49sylanbrc 572 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁)
51503expa 1111 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑤𝑁) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁)
5251ralrimiva 3115 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → ∀𝑤𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁)
53 eqid 2771 . . . . . . 7 (invg𝐺) = (invg𝐺)
545, 53grpinvcl 17675 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
5519, 54sylan2 580 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
56 simplr 752 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑧𝑁)
57 simpll 750 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
5855adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
59 simpr 471 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑢𝑋)
605, 8grpcl 17638 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋) → (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋)
6157, 59, 58, 60syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋)
625, 8grpcl 17638 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) ∈ 𝑋)
6357, 58, 61, 62syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) ∈ 𝑋)
641nmzbi 17842 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑁 ∧ (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))) ∈ 𝑆 ↔ ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) ∈ 𝑆))
6556, 63, 64syl2anc 573 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))) ∈ 𝑆 ↔ ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) ∈ 𝑆))
663, 56sseldi 3750 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑧𝑋)
675, 8, 6, 53grprinv 17677 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) = (0g𝐺))
6857, 66, 67syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) = (0g𝐺))
6968oveq1d 6808 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = ((0g𝐺) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))))
705, 8grpass 17639 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑧𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋)) → ((𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = (𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))))
7157, 66, 58, 61, 70syl13anc 1478 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = (𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))))
725, 8, 6grplid 17660 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋) → ((0g𝐺) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))
7357, 61, 72syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((0g𝐺) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))
7469, 71, 733eqtr3d 2813 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))) = (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))
7574eleq1d 2835 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
765, 8grpass 17639 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋𝑧𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑧) + ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧)))
7757, 58, 61, 66, 76syl13anc 1478 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑧) + ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧)))
785, 8grpass 17639 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧) = (𝑢 + (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧)))
7957, 59, 58, 66, 78syl13anc 1478 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧) = (𝑢 + (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧)))
805, 8, 6, 53grplinv 17676 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g𝐺))
8157, 66, 80syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g𝐺))
8281oveq2d 6809 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧)) = (𝑢 + (0g𝐺)))
835, 8, 6grprid 17661 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + (0g𝐺)) = 𝑢)
8457, 59, 83syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + (0g𝐺)) = 𝑢)
8579, 82, 843eqtrd 2809 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧) = 𝑢)
8685oveq2d 6809 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧)) = (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢))
8777, 86eqtrd 2805 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢))
8887eleq1d 2835 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆))
8965, 75, 883bitr3rd 299 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
9089ralrimiva 3115 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → ∀𝑢𝑋 ((((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
911elnmz 17841 . . . . 5 (((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁 ↔ (((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢𝑋 ((((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆)))
9255, 90, 91sylanbrc 572 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁)
9352, 92jca 501 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → (∀𝑤𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁))
9493ralrimiva 3115 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑧𝑁 (∀𝑤𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁))
955, 8, 53issubg2 17817 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑁𝑋𝑁 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑁 (∀𝑤𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁))))
964, 17, 94, 95mpbir3and 1427 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  {crab 3065  wss 3723  c0 4063  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631  SubGrpcsubg 17796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-subg 17799
This theorem is referenced by:  nmznsg  17846  sylow3lem3  18251  sylow3lem4  18252  sylow3lem6  18254
  Copyright terms: Public domain W3C validator