Theorem nmznsg 17685

Description: Any subgroup is a normal subgroup of its normalizer. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elnmz.1	⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
nmzsubg.2	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmzsubg.3	⊢ + = (+g‘𝐺)
nmznsg.4	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
nmznsg	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmznsg

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		elnmz.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
3		nmzsubg.2	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		nmzsubg.3	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5	2, 3, 4	ssnmz 17683	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝑁)
6		subgrcl 17646	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
7	2, 3, 4	nmzsubg 17682	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9		nmznsg.4	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑁)
10	9	subsubg 17664	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)))
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)))
12	1, 5, 11	mpbir2and 977	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻))
13		ssrab2 3720	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)} ⊆ 𝑋
14	2, 13	eqsstri 3668	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑋
15	14	sseli 3632	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑁 → 𝑤 ∈ 𝑋)
16	2	nmzbi 17681	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
17	15, 16	sylan2 490	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) → ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
18	17	rgen2a 3006	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ 𝑁 ∀𝑤 ∈ 𝑁 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)
19	9	subgbas 17645	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘𝐻))
20	8, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘𝐻))
21	20	raleqdv 3174	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (∀𝑤 ∈ 𝑁 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑤 ∈ (Base‘𝐻)((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)))
22	20, 21	raleqbidv 3182	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (∀𝑧 ∈ 𝑁 ∀𝑤 ∈ 𝑁 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐻)((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)))
23	18, 22	mpbii 223	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐻)((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆))
24		eqid 2651	. . 3 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
25		fvex 6239	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
26	3, 25	eqeltri 2726	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
27	26, 14	ssexi 4836	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ V
28	9, 4	ressplusg 16040	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ V → + = (+g‘𝐻))
29	27, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐻)
30	24, 29	isnsg 17670	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐻) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐻)∀𝑤 ∈ (Base‘𝐻)((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + 𝑧) ∈ 𝑆)))
31	12, 23, 30	sylanbrc 699	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904   ↾_s cress 15905  +_gcplusg 15988  Grpcgrp 17469  SubGrpcsubg 17635  NrmSGrpcnsg 17636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-nsg 17639

This theorem is referenced by:  sylow3lem4  18091  sylow3lem6  18093