Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmounbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmounbi 27759
 Description: Two ways two express that an operator is unbounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoubi.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoubi.l 𝐿 = (normCV𝑈)
nmoubi.m 𝑀 = (normCV𝑊)
nmoubi.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoubi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmoubi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmounbi (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) = +∞ ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑟,𝐿   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑌,𝑟,𝑦   𝑀,𝑟,𝑦   𝑇,𝑟,𝑦   𝑋,𝑟,𝑦   𝑁,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem nmounbi
StepHypRef Expression
1 nmoubi.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nmoubi.y . . . 4 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3 nmoubi.l . . . 4 𝐿 = (normCV𝑈)
4 nmoubi.m . . . 4 𝑀 = (normCV𝑊)
5 nmoubi.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
6 nmoubi.u . . . 4 𝑈 ∈ NrmCVec
7 nmoubi.w . . . 4 𝑊 ∈ NrmCVec
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7nmobndi 27758 . . 3 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟)))
91, 2, 5nmorepnf 27751 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁𝑇) ≠ +∞))
106, 7, 9mp3an12 1454 . . 3 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁𝑇) ≠ +∞))
11 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇:𝑋𝑌𝑦𝑋) → (𝑇𝑦) ∈ 𝑌)
122, 4nvcl 27644 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑦) ∈ 𝑌) → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ∈ ℝ)
137, 11, 12sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇:𝑋𝑌𝑦𝑋) → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ∈ ℝ)
14 lenlt 10154 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀‘(𝑇𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
1513, 14sylan 487 . . . . . . . . . 10 (((𝑇:𝑋𝑌𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
1615an32s 863 . . . . . . . . 9 (((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
1716imbi2d 329 . . . . . . . 8 (((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ((𝐿𝑦) ≤ 1 → ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
18 imnan 437 . . . . . . . 8 (((𝐿𝑦) ≤ 1 → ¬ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ¬ ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
1917, 18syl6bb 276 . . . . . . 7 (((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ¬ ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
2019ralbidva 3014 . . . . . 6 ((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ∀𝑦𝑋 ¬ ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
21 ralnex 3021 . . . . . 6 (∀𝑦𝑋 ¬ ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ¬ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
2220, 21syl6bb 276 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) → (∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ¬ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
2322rexbidva 3078 . . . 4 (𝑇:𝑋𝑌 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ¬ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
24 rexnal 3024 . . . 4 (∃𝑟 ∈ ℝ ¬ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦))))
2523, 24syl6bb 276 . . 3 (𝑇:𝑋𝑌 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
268, 10, 253bitr3d 298 . 2 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ≠ +∞ ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
2726necon4abid 2863 1 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) = +∞ ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ∃𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑟 < (𝑀‘(𝑇𝑦)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   class class class wbr 4685  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  1c1 9975  +∞cpnf 10109   < clt 10112   ≤ cle 10113  NrmCVeccnv 27567  BaseSetcba 27569  normCVcnmcv 27573   normOpOLD cnmoo 27724 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-nmcv 27583  df-nmoo 27728 This theorem is referenced by:  nmounbseqi  27760  nmounbseqiALT  27761
 Copyright terms: Public domain W3C validator