Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmosetre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmosetre 27747
 Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmoo 27728 is a set of reals. (Contributed by NM, 13-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmosetre.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmosetre.4 𝑁 = (normCV𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmosetre ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝑀𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑇   𝑥,𝑊,𝑧   𝑥,𝑋,𝑧   𝑥,𝑌,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)   𝑁(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem nmosetre
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 6397 . . . . . . . . 9 ((𝑇:𝑋𝑌𝑧𝑋) → (𝑇𝑧) ∈ 𝑌)
2 nmosetre.2 . . . . . . . . . 10 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3 nmosetre.4 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (normCV𝑊)
42, 3nvcl 27644 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑧) ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
51, 4sylan2 490 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇:𝑋𝑌𝑧𝑋)) → (𝑁‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
65anassrs 681 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑁‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
7 eleq1 2718 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (𝑁‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ))
86, 7syl5ibr 236 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧)) → (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ))
98impcom 445 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧))) → 𝑥 ∈ ℝ)
109adantrl 752 . . . 4 ((((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ 𝑧𝑋) ∧ ((𝑀𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
1110exp31 629 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑧𝑋 → (((𝑀𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧))) → 𝑥 ∈ ℝ)))
1211rexlimdv 3059 . 2 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (∃𝑧𝑋 ((𝑀𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧))) → 𝑥 ∈ ℝ))
1312abssdv 3709 1 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝑀𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cab 2637  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  ℝcr 9973  1c1 9975   ≤ cle 10113  NrmCVeccnv 27567  BaseSetcba 27569  normCVcnmcv 27573 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-nmcv 27583 This theorem is referenced by:  nmoxr  27749  nmooge0  27750  nmorepnf  27751  nmoolb  27754  nmoubi  27755  nmlno0lem  27776  nmopsetretHIL  28851
 Copyright terms: Public domain W3C validator