MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmosetre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmosetre 27747
Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmoo 27728 is a set of reals. (Contributed by NM, 13-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmosetre.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmosetre.4 𝑁 = (normCV𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmosetre ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝑀𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑇   𝑥,𝑊,𝑧   𝑥,𝑋,𝑧   𝑥,𝑌,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)   𝑁(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem nmosetre
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 6397 . . . . . . . . 9 ((𝑇:𝑋𝑌𝑧𝑋) → (𝑇𝑧) ∈ 𝑌)
2 nmosetre.2 . . . . . . . . . 10 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3 nmosetre.4 . . . . . . . . . 10 𝑁 = (normCV𝑊)
42, 3nvcl 27644 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝑧) ∈ 𝑌) → (𝑁‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
51, 4sylan2 490 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇:𝑋𝑌𝑧𝑋)) → (𝑁‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
65anassrs 681 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑁‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
7 eleq1 2718 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (𝑁‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ))
86, 7syl5ibr 236 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧)) → (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ))
98impcom 445 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧))) → 𝑥 ∈ ℝ)
109adantrl 752 . . . 4 ((((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ 𝑧𝑋) ∧ ((𝑀𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
1110exp31 629 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑧𝑋 → (((𝑀𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧))) → 𝑥 ∈ ℝ)))
1211rexlimdv 3059 . 2 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (∃𝑧𝑋 ((𝑀𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧))) → 𝑥 ∈ ℝ))
1312abssdv 3709 1 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 ((𝑀𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (𝑁‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  {cab 2637  wrex 2942  wss 3607   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  cr 9973  1c1 9975  cle 10113  NrmCVeccnv 27567  BaseSetcba 27569  normCVcnmcv 27573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-nmcv 27583
This theorem is referenced by:  nmoxr  27749  nmooge0  27750  nmorepnf  27751  nmoolb  27754  nmoubi  27755  nmlno0lem  27776  nmopsetretHIL  28851
  Copyright terms: Public domain W3C validator