Theorem nmopsetretALT 28952

Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmop 28928 is a set of reals. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopsetretALT	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem nmopsetretALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 6472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℋ)
2		normcl 28212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇‘𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
4		eleq1 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ))
5	3, 4	syl5ibr 236	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) → ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℝ))
6	5	impcom 445	. . . . 5 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	adantrl 754	. . . 4 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	exp31 631	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)))
9	8	rexlimdv 3132	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ))
10	9	abssdv 3782	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  {cab 2710  ∃wrex 3015   ⊆ wss 3680   class class class wbr 4760  ⟶wf 5997  ‘cfv 6001  ℝcr 10048  1c1 10050   ≤ cle 10188   ℋchil 28006  norm_ℎcno 28010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-hv0cl 28090  ax-hvmul0 28097  ax-hfi 28166  ax-his1 28169  ax-his3 28171  ax-his4 28172

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-hnorm 28055

This theorem is referenced by:  nmopub  28997