Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopsetn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopsetn0 29054
 Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmop 29028 is nonempty. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopsetn0 (norm‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem nmopsetn0
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 28190 . . 3 0 ∈ ℋ
2 norm0 28315 . . . . 5 (norm‘0) = 0
3 0le1 10763 . . . . 5 0 ≤ 1
42, 3eqbrtri 4825 . . . 4 (norm‘0) ≤ 1
5 eqid 2760 . . . 4 (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0))
64, 5pm3.2i 470 . . 3 ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0)))
7 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → (norm𝑦) = (norm‘0))
87breq1d 4814 . . . . 5 (𝑦 = 0 → ((norm𝑦) ≤ 1 ↔ (norm‘0) ≤ 1))
9 fveq2 6353 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 → (𝑇𝑦) = (𝑇‘0))
109fveq2d 6357 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm‘(𝑇‘0)))
1110eqeq2d 2770 . . . . 5 (𝑦 = 0 → ((norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦)) ↔ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0))))
128, 11anbi12d 749 . . . 4 (𝑦 = 0 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0)))))
1312rspcev 3449 . . 3 ((0 ∈ ℋ ∧ ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0)))) → ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦))))
141, 6, 13mp2an 710 . 2 𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦)))
15 fvex 6363 . . 3 (norm‘(𝑇‘0)) ∈ V
16 eqeq1 2764 . . . . 5 (𝑥 = (norm‘(𝑇‘0)) → (𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)) ↔ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦))))
1716anbi2d 742 . . . 4 (𝑥 = (norm‘(𝑇‘0)) → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦)))))
1817rexbidv 3190 . . 3 (𝑥 = (norm‘(𝑇‘0)) → (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦)))))
1915, 18elab 3490 . 2 ((norm‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦))))
2014, 19mpbir 221 1 (norm‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {cab 2746  ∃wrex 3051   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  0cc0 10148  1c1 10149   ≤ cle 10287   ℋchil 28106  normℎcno 28110  0ℎc0v 28111 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-hv0cl 28190  ax-hvmul0 28197  ax-hfi 28266  ax-his3 28271 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-hnorm 28155 This theorem is referenced by:  nmoprepnf  29056
 Copyright terms: Public domain W3C validator