Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmoplb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoplb 29075
 Description: A lower bound for an operator norm. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmoplb ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ (normop𝑇))

Proof of Theorem nmoplb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmopsetretHIL 29032 . . . . 5 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ)
2 ressxr 10275 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
31, 2syl6ss 3756 . . . 4 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ*)
433ad2ant1 1128 . . 3 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ*)
5 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → (norm𝑦) = (norm𝐴))
65breq1d 4814 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → ((norm𝑦) ≤ 1 ↔ (norm𝐴) ≤ 1))
7 fveq2 6352 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (𝑇𝑦) = (𝑇𝐴))
87fveq2d 6356 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm‘(𝑇𝐴)))
98eqeq2d 2770 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐴 → ((norm‘(𝑇𝐴)) = (norm‘(𝑇𝑦)) ↔ (norm‘(𝑇𝐴)) = (norm‘(𝑇𝐴))))
106, 9anbi12d 749 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇𝐴)) = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm𝐴) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇𝐴)) = (norm‘(𝑇𝐴)))))
11 eqid 2760 . . . . . . . 8 (norm‘(𝑇𝐴)) = (norm‘(𝑇𝐴))
1211biantru 527 . . . . . . 7 ((norm𝐴) ≤ 1 ↔ ((norm𝐴) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇𝐴)) = (norm‘(𝑇𝐴))))
1310, 12syl6bbr 278 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇𝐴)) = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ (norm𝐴) ≤ 1))
1413rspcev 3449 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇𝐴)) = (norm‘(𝑇𝑦))))
15 fvex 6362 . . . . . 6 (norm‘(𝑇𝐴)) ∈ V
16 eqeq1 2764 . . . . . . . 8 (𝑥 = (norm‘(𝑇𝐴)) → (𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)) ↔ (norm‘(𝑇𝐴)) = (norm‘(𝑇𝑦))))
1716anbi2d 742 . . . . . . 7 (𝑥 = (norm‘(𝑇𝐴)) → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇𝐴)) = (norm‘(𝑇𝑦)))))
1817rexbidv 3190 . . . . . 6 (𝑥 = (norm‘(𝑇𝐴)) → (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇𝐴)) = (norm‘(𝑇𝑦)))))
1915, 18elab 3490 . . . . 5 ((norm‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇𝐴)) = (norm‘(𝑇𝑦))))
2014, 19sylibr 224 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))})
21203adant1 1125 . . 3 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))})
22 supxrub 12347 . . 3 (({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ (norm‘(𝑇𝐴)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}) → (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
234, 21, 22syl2anc 696 . 2 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
24 nmopval 29024 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
25243ad2ant1 1128 . 2 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → (normop𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
2623, 25breqtrrd 4832 1 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ (norm𝐴) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝐴)) ≤ (normop𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {cab 2746  ∃wrex 3051   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  supcsup 8511  ℝcr 10127  1c1 10129  ℝ*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267   ℋchil 28085  normℎcno 28089  normopcnop 28111 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-hilex 28165  ax-hfvadd 28166  ax-hvcom 28167  ax-hvass 28168  ax-hv0cl 28169  ax-hvaddid 28170  ax-hfvmul 28171  ax-hvmulid 28172  ax-hvmulass 28173  ax-hvdistr1 28174  ax-hvdistr2 28175  ax-hvmul0 28176  ax-hfi 28245  ax-his1 28248  ax-his2 28249  ax-his3 28250  ax-his4 28251 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-grpo 27656  df-gid 27657  df-ablo 27708  df-vc 27723  df-nv 27756  df-va 27759  df-ba 27760  df-sm 27761  df-0v 27762  df-nmcv 27764  df-hnorm 28134  df-hba 28135  df-hvsub 28137  df-nmop 29007 This theorem is referenced by:  nmopge0  29079  nmbdoplbi  29192  nmcoplbi  29196  nmophmi  29199  nmoptrii  29262  nmopcoi  29263
 Copyright terms: Public domain W3C validator