Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmooge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmooge0 27852
 Description: The norm of an operator is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoxr.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoxr.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoxr.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmooge0 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → 0 ≤ (𝑁𝑇))

Proof of Theorem nmooge0
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 10199 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → 0 ∈ ℝ*)
3 simp2 1129 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
4 nmoxr.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 eqid 2724 . . . . . . . 8 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
64, 5nvzcl 27719 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ NrmCVec → (0vec𝑈) ∈ 𝑋)
7 ffvelrn 6472 . . . . . . 7 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (0vec𝑈) ∈ 𝑋) → (𝑇‘(0vec𝑈)) ∈ 𝑌)
86, 7sylan2 492 . . . . . 6 ((𝑇:𝑋𝑌𝑈 ∈ NrmCVec) → (𝑇‘(0vec𝑈)) ∈ 𝑌)
98ancoms 468 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑇‘(0vec𝑈)) ∈ 𝑌)
1093adant2 1123 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑇‘(0vec𝑈)) ∈ 𝑌)
11 nmoxr.2 . . . . 5 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
12 eqid 2724 . . . . 5 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
1311, 12nvcl 27746 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘(0vec𝑈)) ∈ 𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ∈ ℝ)
143, 10, 13syl2anc 696 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ∈ ℝ)
1514rexrd 10202 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ∈ ℝ*)
16 nmoxr.3 . . 3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
174, 11, 16nmoxr 27851 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
1811, 12nvge0 27758 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘(0vec𝑈)) ∈ 𝑌) → 0 ≤ ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))))
193, 10, 18syl2anc 696 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → 0 ≤ ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))))
2011, 12nmosetre 27849 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ)
21 ressxr 10196 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
2220, 21syl6ss 3721 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ*)
23 eqid 2724 . . . . . . 7 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
244, 5, 23nmosetn0 27850 . . . . . 6 (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))})
25 supxrub 12268 . . . . . 6 (({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ* ∧ ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
2622, 24, 25syl2an 495 . . . . 5 (((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) ∧ 𝑈 ∈ NrmCVec) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
27263impa 1100 . . . 4 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌𝑈 ∈ NrmCVec) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
28273comr 1119 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
294, 11, 23, 12, 16nmooval 27848 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑧𝑋 (((normCV𝑈)‘𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑥 = ((normCV𝑊)‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
3028, 29breqtrrd 4788 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((normCV𝑊)‘(𝑇‘(0vec𝑈))) ≤ (𝑁𝑇))
312, 15, 17, 19, 30xrletrd 12107 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → 0 ≤ (𝑁𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  {cab 2710  ∃wrex 3015   ⊆ wss 3680   class class class wbr 4760  ⟶wf 5997  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  supcsup 8462  ℝcr 10048  0cc0 10049  1c1 10050  ℝ*cxr 10186   < clt 10187   ≤ cle 10188  NrmCVeccnv 27669  BaseSetcba 27671  0veccn0v 27673  normCVcnmcv 27675   normOpOLD cnmoo 27826 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-grpo 27577  df-gid 27578  df-ginv 27579  df-ablo 27629  df-vc 27644  df-nv 27677  df-va 27680  df-ba 27681  df-sm 27682  df-0v 27683  df-nmcv 27685  df-nmoo 27830 This theorem is referenced by:  nmlnogt0  27882  htthlem  28004
 Copyright terms: Public domain W3C validator