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Theorem nmoleub3 23144
Description: The operator norm is the supremum of the value of a linear operator on the closed unit sphere. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub3.5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
nmoleub3.6 (𝜑 → ℝ ⊆ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
nmoleub3 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐿   𝑥,𝑁   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem nmoleub3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoleub2.n . 2 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 nmoleub2.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑆)
3 nmoleub2.l . 2 𝐿 = (norm‘𝑆)
4 nmoleub2.m . 2 𝑀 = (norm‘𝑇)
5 nmoleub2.g . 2 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
6 nmoleub2.w . 2 𝐾 = (Base‘𝐺)
7 nmoleub2.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
8 nmoleub2.t . 2 (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
9 nmoleub2.f . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10 nmoleub2.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
11 nmoleub2.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
12 nmoleub3.5 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
1312adantr 473 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
149ad3antrrr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
15 nmoleub3.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℝ ⊆ 𝐾)
1615ad3antrrr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ℝ ⊆ 𝐾)
1711ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
187elin1d 3950 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ NrmMod)
1918ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑆 ∈ NrmMod)
20 nlmngp 22707 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
22 simprl 808 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑦𝑉)
23 simprr 810 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑦 ≠ (0g𝑆))
24 eqid 2769 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝑆) = (0g𝑆)
252, 3, 24nmrpcl 22650 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝑦) ∈ ℝ+)
2621, 22, 23, 25syl3anc 1474 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿𝑦) ∈ ℝ+)
2717, 26rpdivcld 12091 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ ℝ+)
2827rpred 12074 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ ℝ)
2916, 28sseldd 3750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾)
30 eqid 2769 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆)
31 eqid 2769 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑇) = ( ·𝑠𝑇)
325, 6, 2, 30, 31lmhmlin 19254 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾𝑦𝑉) → (𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦)))
3314, 29, 22, 32syl3anc 1474 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦)))
3433fveq2d 6335 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) = (𝑀‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦))))
358elin1d 3950 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ NrmMod)
3635ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑇 ∈ NrmMod)
37 eqid 2769 . . . . . . . . . . . . 13 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
385, 37lmhmsca 19249 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (Scalar‘𝑇) = 𝐺)
3914, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (Scalar‘𝑇) = 𝐺)
4039fveq2d 6335 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘𝐺))
4140, 6syl6eqr 2821 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = 𝐾)
4229, 41eleqtrrd 2851 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
43 eqid 2769 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
442, 43lmhmf 19253 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
4514, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
4645, 22ffvelrnd 6502 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝑇))
47 eqid 2769 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
48 eqid 2769 . . . . . . . . 9 (norm‘(Scalar‘𝑇)) = (norm‘(Scalar‘𝑇))
4943, 4, 31, 37, 47, 48nmvs 22706 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmMod ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦))) = (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝑀‘(𝐹𝑦))))
5036, 42, 46, 49syl3anc 1474 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦))) = (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝑀‘(𝐹𝑦))))
5139fveq2d 6335 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (norm‘(Scalar‘𝑇)) = (norm‘𝐺))
5251fveq1d 6333 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = ((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))))
537elin2d 3951 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℂMod)
5453ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑆 ∈ ℂMod)
555, 6clmabs 23108 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℂMod ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾) → (abs‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = ((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))))
5654, 29, 55syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (abs‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = ((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))))
5727rpge0d 12078 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 0 ≤ (𝑅 / (𝐿𝑦)))
5828, 57absidd 14372 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (abs‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = (𝑅 / (𝐿𝑦)))
5956, 58eqtr3d 2805 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = (𝑅 / (𝐿𝑦)))
6052, 59eqtrd 2803 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) = (𝑅 / (𝐿𝑦)))
6160oveq1d 6806 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝑀‘(𝐹𝑦))) = ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝑀‘(𝐹𝑦))))
6234, 50, 613eqtrd 2807 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) = ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝑀‘(𝐹𝑦))))
6362oveq1d 6806 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) = (((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝑀‘(𝐹𝑦))) / 𝑅))
6427rpcnd 12076 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ ℂ)
65 nlmngp 22707 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
6636, 65syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
6743, 4nmcl 22646 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑦) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
6866, 46, 67syl2anc 693 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
6968recnd 10268 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ∈ ℂ)
7017rpcnd 12076 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑅 ∈ ℂ)
7117rpne0d 12079 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝑅 ≠ 0)
7264, 69, 70, 71divassd 11036 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝑀‘(𝐹𝑦))) / 𝑅) = ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / 𝑅)))
7326rpcnd 12076 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿𝑦) ∈ ℂ)
7426rpne0d 12079 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿𝑦) ≠ 0)
7569, 70, 73, 71, 74dmdcand 11030 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / 𝑅)) = ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / (𝐿𝑦)))
7663, 72, 753eqtrd 2807 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / (𝐿𝑦)))
77 eqid 2769 . . . . . . . 8 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
782, 3, 30, 5, 6, 77nmvs 22706 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾𝑦𝑉) → (𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝐿𝑦)))
7919, 29, 22, 78syl3anc 1474 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝐿𝑦)))
8059oveq1d 6806 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (((norm‘𝐺)‘(𝑅 / (𝐿𝑦))) · (𝐿𝑦)) = ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝐿𝑦)))
8170, 73, 74divcan1d 11002 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑅 / (𝐿𝑦)) · (𝐿𝑦)) = 𝑅)
8279, 80, 813eqtrd 2807 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = 𝑅)
83 fveq2 6331 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → (𝐿𝑥) = (𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)))
8483eqeq1d 2771 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → ((𝐿𝑥) = 𝑅 ↔ (𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = 𝑅))
85 fveq2 6331 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)))
8685fveq2d 6335 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = (𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))))
8786oveq1d 6806 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) = ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅))
8887breq1d 4793 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
8984, 88imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑥 = ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) → (((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴) ↔ ((𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
90 simpllr 814 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
912, 5, 30, 6clmvscl 23113 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ ℂMod ∧ (𝑅 / (𝐿𝑦)) ∈ 𝐾𝑦𝑉) → ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
9254, 29, 22, 91syl3anc 1474 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
9389, 90, 92rspcdva 3463 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝐿‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦)) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴))
9482, 93mpd 15 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑀‘(𝐹‘((𝑅 / (𝐿𝑦))( ·𝑠𝑆)𝑦))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
9576, 94eqbrtrrd 4807 . . 3 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑀‘(𝐹𝑦)) / (𝐿𝑦)) ≤ 𝐴)
96 simplr 806 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → 𝐴 ∈ ℝ)
9768, 96, 26ledivmul2d 12128 . . 3 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (((𝑀‘(𝐹𝑦)) / (𝐿𝑦)) ≤ 𝐴 ↔ (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦))))
9895, 97mpbid 222 . 2 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
9911adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ+)
10099rpred 12074 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅 ∈ ℝ)
101100leidd 10794 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → 𝑅𝑅)
102 breq1 4786 . . 3 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝐿𝑥) ≤ 𝑅𝑅𝑅))
103101, 102syl5ibrcom 237 . 2 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝐿𝑥) = 𝑅 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
1041, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 98, 103nmoleub2lem 23139 1 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 ((𝐿𝑥) = 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1629  wcel 2143  wne 2941  wral 3059  cin 3719  wss 3720   class class class wbr 4783  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6791  cr 10135  0cc0 10136   · cmul 10141  *cxr 10273  cle 10275   / cdiv 10884  +crp 12034  abscabs 14185  Basecbs 16070  Scalarcsca 16158   ·𝑠 cvsca 16159  0gc0g 16314   LMHom clmhm 19238  normcnm 22607  NrmGrpcngp 22608  NrmModcnlm 22611   normOp cnmo 22735  ℂModcclm 23087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ico 12385  df-fz 12533  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14050  df-re 14051  df-im 14052  df-sqrt 14186  df-abs 14187  df-struct 16072  df-ndx 16073  df-slot 16074  df-base 16076  df-sets 16077  df-ress 16078  df-plusg 16168  df-mulr 16169  df-starv 16170  df-tset 16174  df-ple 16175  df-ds 16178  df-unif 16179  df-0g 16316  df-topgen 16318  df-mgm 17456  df-sgrp 17498  df-mnd 17509  df-grp 17639  df-subg 17805  df-ghm 17872  df-cmn 18408  df-mgp 18704  df-ring 18763  df-cring 18764  df-subrg 18994  df-lmod 19081  df-lmhm 19241  df-psmet 19959  df-xmet 19960  df-met 19961  df-bl 19962  df-mopn 19963  df-cnfld 19968  df-top 20925  df-topon 20942  df-topsp 20964  df-bases 20977  df-xms 22351  df-ms 22352  df-nm 22613  df-ngp 22614  df-nlm 22617  df-nmo 22738  df-nghm 22739  df-clm 23088
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