MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoleub2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoleub2lem3 23134
Description: Lemma for nmoleub2a 23136 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2a.5 (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
nmoleub2lem3.p · = ( ·𝑠𝑆)
nmoleub2lem3.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
nmoleub2lem3.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
nmoleub2lem3.3 (𝜑𝐵𝑉)
nmoleub2lem3.4 (𝜑𝐵 ≠ (0g𝑆))
nmoleub2lem3.5 (𝜑 → ((𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
nmoleub2lem3.6 (𝜑 → ¬ (𝑀‘(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝐵)))
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem3 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐹,𝑟   𝐿,𝑟   𝑀,𝑟   𝜑,𝑟   𝐵,𝑟   𝑅,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑟)   𝑇(𝑟)   · (𝑟)   𝐺(𝑟)   𝐾(𝑟)   𝑁(𝑟)   𝑉(𝑟)

Proof of Theorem nmoleub2lem3
StepHypRef Expression
1 simprl 754 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟)
2 qre 12001 . . . . . 6 (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
32ad2antlr 706 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
4 nmoleub2lem3.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 nmoleub2.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
65rpred 12075 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
74, 6remulcld 10276 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
8 nmoleub2.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
98elin1d 3953 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ NrmMod)
10 nlmngp 22701 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
12 nmoleub2.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
13 nmoleub2.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Base‘𝑆)
14 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
1513, 14lmhmf 19247 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
1612, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
17 nmoleub2lem3.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑉)
1816, 17ffvelrnd 6505 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇))
19 nmoleub2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (norm‘𝑇)
2014, 19nmcl 22640 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
2111, 18, 20syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
22 0red 10247 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23 nmoleub2.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
2423elin1d 3953 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ NrmMod)
25 nlmngp 22701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
27 nmoleub2.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (norm‘𝑆)
2813, 27nmcl 22640 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → (𝐿𝐵) ∈ ℝ)
2926, 17, 28syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿𝐵) ∈ ℝ)
304, 29remulcld 10276 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · (𝐿𝐵)) ∈ ℝ)
31 nmoleub2lem3.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3213, 27nmge0 22641 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → 0 ≤ (𝐿𝐵))
3326, 17, 32syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝐿𝐵))
344, 29, 31, 33mulge0d 10810 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · (𝐿𝐵)))
35 nmoleub2lem3.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝑀‘(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝐵)))
3630, 21ltnled 10390 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 · (𝐿𝐵)) < (𝑀‘(𝐹𝐵)) ↔ ¬ (𝑀‘(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝐵))))
3735, 36mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · (𝐿𝐵)) < (𝑀‘(𝐹𝐵)))
3822, 30, 21, 34, 37lelttrd 10401 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (𝑀‘(𝐹𝐵)))
3921, 38elrpd 12072 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ+)
407, 39rerpdivcld 12106 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) ∈ ℝ)
4140ad2antrr 705 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) ∈ ℝ)
4212ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
43 nmoleub2a.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ℚ ⊆ 𝐾)
4443sselda 3752 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑟 ∈ ℚ) → 𝑟𝐾)
4544adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑟𝐾)
4617ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝐵𝑉)
47 nmoleub2.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
48 nmoleub2.w . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (Base‘𝐺)
49 nmoleub2lem3.p . . . . . . . . . . . . 13 · = ( ·𝑠𝑆)
50 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ( ·𝑠𝑇) = ( ·𝑠𝑇)
5147, 48, 13, 49, 50lmhmlin 19248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑟𝐾𝐵𝑉) → (𝐹‘(𝑟 · 𝐵)) = (𝑟( ·𝑠𝑇)(𝐹𝐵)))
5242, 45, 46, 51syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝐹‘(𝑟 · 𝐵)) = (𝑟( ·𝑠𝑇)(𝐹𝐵)))
5352fveq2d 6337 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) = (𝑀‘(𝑟( ·𝑠𝑇)(𝐹𝐵))))
549ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑇 ∈ NrmMod)
55 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
5647, 55lmhmsca 19243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → (Scalar‘𝑇) = 𝐺)
5742, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (Scalar‘𝑇) = 𝐺)
5857fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘𝐺))
5958, 48syl6eqr 2823 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = 𝐾)
6045, 59eleqtrrd 2853 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
6118ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇))
62 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
63 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (norm‘(Scalar‘𝑇)) = (norm‘(Scalar‘𝑇))
6414, 19, 50, 55, 62, 63nmvs 22700 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ NrmMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐹𝐵) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝑟( ·𝑠𝑇)(𝐹𝐵))) = (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) · (𝑀‘(𝐹𝐵))))
6554, 60, 61, 64syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑀‘(𝑟( ·𝑠𝑇)(𝐹𝐵))) = (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) · (𝑀‘(𝐹𝐵))))
6657fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (norm‘(Scalar‘𝑇)) = (norm‘𝐺))
6766fveq1d 6335 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) = ((norm‘𝐺)‘𝑟))
6823elin2d 3954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ ℂMod)
6968ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑆 ∈ ℂMod)
7047, 48clmabs 23102 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ ℂMod ∧ 𝑟𝐾) → (abs‘𝑟) = ((norm‘𝐺)‘𝑟))
7169, 45, 70syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (abs‘𝑟) = ((norm‘𝐺)‘𝑟))
72 0red 10247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 0 ∈ ℝ)
735rpge0d 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
744, 6, 31, 73mulge0d 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝑅))
75 divge0 11098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝑅)) ∧ ((𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹𝐵)))) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))))
767, 74, 21, 38, 75syl22anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))))
7776ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 0 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))))
7872, 41, 3, 77, 1lelttrd 10401 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 0 < 𝑟)
7972, 3, 78ltled 10391 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 0 ≤ 𝑟)
803, 79absidd 14369 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (abs‘𝑟) = 𝑟)
8171, 80eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((norm‘𝐺)‘𝑟) = 𝑟)
8267, 81eqtrd 2805 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) = 𝑟)
8382oveq1d 6811 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (((norm‘(Scalar‘𝑇))‘𝑟) · (𝑀‘(𝐹𝐵))) = (𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))))
8453, 65, 833eqtrd 2809 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) = (𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))))
8584oveq1d 6811 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) = ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) / 𝑅))
8613, 47, 49, 48clmvscl 23107 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℂMod ∧ 𝑟𝐾𝐵𝑉) → (𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉)
8769, 45, 46, 86syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉)
8824ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑆 ∈ NrmMod)
89 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
9013, 27, 49, 47, 48, 89nmvs 22700 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ NrmMod ∧ 𝑟𝐾𝐵𝑉) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) = (((norm‘𝐺)‘𝑟) · (𝐿𝐵)))
9188, 45, 46, 90syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) = (((norm‘𝐺)‘𝑟) · (𝐿𝐵)))
9281oveq1d 6811 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (((norm‘𝐺)‘𝑟) · (𝐿𝐵)) = (𝑟 · (𝐿𝐵)))
9391, 92eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) = (𝑟 · (𝐿𝐵)))
94 simprr 756 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))
956ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
96 nmoleub2lem3.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ≠ (0g𝑆))
97 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑆) = (0g𝑆)
9813, 27, 97nmrpcl 22644 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉𝐵 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝐵) ∈ ℝ+)
9926, 17, 96, 98syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐿𝐵) ∈ ℝ+)
10099rpregt0d 12081 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐿𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝐵)))
101100ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝐿𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝐵)))
102 ltmuldiv 11102 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝐵))) → ((𝑟 · (𝐿𝐵)) < 𝑅𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵))))
1033, 95, 101, 102syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑟 · (𝐿𝐵)) < 𝑅𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵))))
10494, 103mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑟 · (𝐿𝐵)) < 𝑅)
10593, 104eqbrtrd 4809 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅)
106 nmoleub2lem3.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
107106ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑟 · 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝐿‘(𝑟 · 𝐵)) < 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
10887, 105, 107mp2d 49 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑀‘(𝐹‘(𝑟 · 𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
10985, 108eqbrtrrd 4811 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴)
11021ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ)
1113, 110remulcld 10276 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ∈ ℝ)
1124ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
1135ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
114111, 112, 113ledivmul2d 12129 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (((𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) / 𝑅) ≤ 𝐴 ↔ (𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅)))
115109, 114mpbid 222 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅))
116112, 95remulcld 10276 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
11721, 38jca 501 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹𝐵))))
118117ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹𝐵))))
119 lemuldiv 11109 . . . . . . 7 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹𝐵)))) → ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅) ↔ 𝑟 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵)))))
1203, 116, 118, 119syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ((𝑟 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ≤ (𝐴 · 𝑅) ↔ 𝑟 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵)))))
121115, 120mpbid 222 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → 𝑟 ≤ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))))
1223, 41, 121lensymd 10394 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → ¬ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟)
1231, 122pm2.21dd 186 . . 3 (((𝜑𝑟 ∈ ℚ) ∧ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵)))) → (𝑀‘(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝐵)))
1246, 99rerpdivcld 12106 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 / (𝐿𝐵)) ∈ ℝ)
1254recnd 10274 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1266recnd 10274 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
12729recnd 10274 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿𝐵) ∈ ℂ)
128 mulass 10230 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐿𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿𝐵)) = (𝐴 · (𝑅 · (𝐿𝐵))))
129 mul12 10408 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐿𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑅 · (𝐿𝐵))) = (𝑅 · (𝐴 · (𝐿𝐵))))
130128, 129eqtrd 2805 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (𝐿𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿𝐵)) = (𝑅 · (𝐴 · (𝐿𝐵))))
131125, 126, 127, 130syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿𝐵)) = (𝑅 · (𝐴 · (𝐿𝐵))))
13230, 21, 5, 37ltmul2dd 12131 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 · (𝐴 · (𝐿𝐵))) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹𝐵))))
133131, 132eqbrtrd 4809 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) · (𝐿𝐵)) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹𝐵))))
134 lt2mul2div 11107 . . . . . 6 ((((𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐿𝐵))) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ ((𝑀‘(𝐹𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑀‘(𝐹𝐵))))) → (((𝐴 · 𝑅) · (𝐿𝐵)) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ↔ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < (𝑅 / (𝐿𝐵))))
1357, 100, 6, 117, 134syl22anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑅) · (𝐿𝐵)) < (𝑅 · (𝑀‘(𝐹𝐵))) ↔ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < (𝑅 / (𝐿𝐵))))
136133, 135mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < (𝑅 / (𝐿𝐵)))
137 qbtwnre 12235 . . . 4 ((((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / (𝐿𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < (𝑅 / (𝐿𝐵))) → ∃𝑟 ∈ ℚ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵))))
13840, 124, 136, 137syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℚ (((𝐴 · 𝑅) / (𝑀‘(𝐹𝐵))) < 𝑟𝑟 < (𝑅 / (𝐿𝐵))))
139123, 138r19.29a 3226 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝐵)))
140139, 35pm2.65i 185 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  cin 3722  wss 3723   class class class wbr 4787  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142   · cmul 10147  *cxr 10279   < clt 10280  cle 10281   / cdiv 10890  cq 11996  +crp 12035  abscabs 14182  Basecbs 16064  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  0gc0g 16308   LMHom clmhm 19232  normcnm 22601  NrmGrpcngp 22602  NrmModcnlm 22605   normOp cnmo 22729  ℂModcclm 23081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-topgen 16312  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cmn 18402  df-mgp 18698  df-ring 18757  df-cring 18758  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lmhm 19235  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-xms 22345  df-ms 22346  df-nm 22607  df-ngp 22608  df-nlm 22611  df-clm 23082
This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  23135
  Copyright terms: Public domain W3C validator