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Theorem nmoleub2lem 23134
Description: Lemma for nmoleub2a 23137 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoleub2.n 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoleub2.v 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoleub2.l 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoleub2.m 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoleub2.g 𝐺 = (Scalar‘𝑆)
nmoleub2.w 𝐾 = (Base‘𝐺)
nmoleub2.s (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.t (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
nmoleub2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
nmoleub2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
nmoleub2.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nmoleub2lem.5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
nmoleub2lem.6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
nmoleub2lem.7 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝜓 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
Assertion
Ref Expression
nmoleub2lem (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmoleub2lem
StepHypRef Expression
1 nmoleub2lem.7 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝜓 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
21adantlr 753 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → (𝜓 → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅))
3 inss1 3976 . . . . . . . . . . . 12 (NrmMod ∩ ℂMod) ⊆ NrmMod
4 nmoleub2.t . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
53, 4sseldi 3742 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ NrmMod)
6 nlmngp 22702 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ NrmMod → 𝑇 ∈ NrmGrp)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
87ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
9 nmoleub2.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
10 nmoleub2.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Base‘𝑆)
11 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
1210, 11lmhmf 19256 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
139, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
1413ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
15 simprl 811 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑥𝑉)
1614, 15ffvelrnd 6524 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇))
17 nmoleub2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (norm‘𝑇)
1811, 17nmcl 22641 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
198, 16, 18syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
20 nmoleub2.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
2120ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
2219, 21rerpdivcld 12116 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ)
2322rexrd 10301 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ*)
24 nmoleub2.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (NrmMod ∩ ℂMod))
253, 24sseldi 3742 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ NrmMod)
26 nlmngp 22702 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ NrmMod → 𝑆 ∈ NrmGrp)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
28 lmghm 19253 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
299, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
30 nmoleub2.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
3130nmocl 22745 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
3227, 7, 29, 31syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
3332ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
34 nmoleub2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3534ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3621rpred 12085 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
37 rexmul 12314 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) · 𝑅))
3822, 36, 37syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) · 𝑅))
3919recnd 10280 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
4036recnd 10280 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
4121rpne0d 12090 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
4239, 40, 41divcan1d 11014 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) · 𝑅) = (𝑀‘(𝐹𝑥)))
4338, 42eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) = (𝑀‘(𝐹𝑥)))
4419rexrd 10301 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ*)
4527ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
46 nmoleub2.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (norm‘𝑆)
4710, 46nmcl 22641 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
4845, 15, 47syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ)
4948rexrd 10301 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿𝑥) ∈ ℝ*)
5033, 49xmulcld 12345 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)) ∈ ℝ*)
5121rpxrd 12086 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
5233, 51xmulcld 12345 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ·e 𝑅) ∈ ℝ*)
5329ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5430, 10, 46, 17nmoix 22754 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)))
5545, 8, 53, 15, 54syl31anc 1480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)))
5630nmoge0 22746 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁𝐹))
5727, 7, 29, 56syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐹))
5832, 57jca 555 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝐹)))
5958ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝐹)))
60 simprr 813 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)
61 xlemul2a 12332 . . . . . . . . . 10 ((((𝐿𝑥) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ* ∧ ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝐹))) ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
6249, 51, 59, 60, 61syl31anc 1480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
6344, 50, 52, 55, 62xrletrd 12206 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
6443, 63eqbrtrd 4826 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅))
65 xlemul1 12333 . . . . . . . 8 ((((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ∈ ℝ* ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ+) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁𝐹) ↔ (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅)))
6623, 33, 21, 65syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁𝐹) ↔ (((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ·e 𝑅) ≤ ((𝑁𝐹) ·e 𝑅)))
6764, 66mpbird 247 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ (𝑁𝐹))
68 simplr 809 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
6923, 33, 35, 67, 68xrletrd 12206 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ (𝑥𝑉 ∧ (𝐿𝑥) ≤ 𝑅)) → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)
7069expr 644 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐿𝑥) ≤ 𝑅 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
712, 70syld 47 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
7271ralrimiva 3104 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁𝐹) ≤ 𝐴) → ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴))
73 eqid 2760 . . . 4 (0g𝑆) = (0g𝑆)
7427ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
757ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
7629ad2antrr 764 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
77 simpr 479 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
78 nmoleub2lem.5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 0 ≤ 𝐴)
7978adantr 472 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
80 nmoleub2lem.6 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑉𝑦 ≠ (0g𝑆))) → (𝑀‘(𝐹𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑦)))
8130, 10, 46, 17, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 80nmolb2d 22743 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
8232ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
83 pnfge 12177 . . . . 5 ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* → (𝑁𝐹) ≤ +∞)
8482, 83syl 17 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ≤ +∞)
85 simpr 479 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
8684, 85breqtrrd 4832 . . 3 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
8734adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
88 ge0nemnf 12217 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≠ -∞)
8987, 78, 88syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → 𝐴 ≠ -∞)
9087, 89jca 555 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞))
91 xrnemnf 12164 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≠ -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9290, 91sylib 208 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞))
9381, 86, 92mpjaodan 862 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
9472, 93impbida 913 1 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝜓 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) / 𝑅) ≤ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  cin 3714   class class class wbr 4804  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148   · cmul 10153  +∞cpnf 10283  -∞cmnf 10284  *cxr 10285  cle 10287   / cdiv 10896  +crp 12045   ·e cxmu 12158  Basecbs 16079  Scalarcsca 16166  0gc0g 16322   GrpHom cghm 17878   LMHom clmhm 19241  normcnm 22602  NrmGrpcngp 22603  NrmModcnlm 22606   normOp cnmo 22730  ℂModcclm 23082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ico 12394  df-0g 16324  df-topgen 16326  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-ghm 17879  df-lmhm 19244  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-xms 22346  df-ms 22347  df-nm 22608  df-ngp 22609  df-nlm 22612  df-nmo 22733  df-nghm 22734
This theorem is referenced by:  nmoleub2lem2  23136  nmoleub3  23139
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