Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmolb2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmolb2d 22742
 Description: Any upper bound on the values of a linear operator at nonzero vectors translates to an upper bound on the operator norm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmofval.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmofval.3 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmofval.4 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmolb2d.z 0 = (0g𝑆)
nmolb2d.1 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.2 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
nmolb2d.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
nmolb2d.4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
nmolb2d.5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
nmolb2d.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
Assertion
Ref Expression
nmolb2d (𝜑 → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem nmolb2d
StepHypRef Expression
1 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐹𝑥) = (𝐹0 ))
21fveq2d 6337 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑀‘(𝐹𝑥)) = (𝑀‘(𝐹0 )))
3 fveq2 6333 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐿𝑥) = (𝐿0 ))
43oveq2d 6812 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝐴 · (𝐿𝑥)) = (𝐴 · (𝐿0 )))
52, 4breq12d 4800 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐹0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿0 ))))
6 nmolb2d.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑉𝑥0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
76anassrs 453 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ 𝑥0 ) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
8 0le0 11316 . . . . . . 7 0 ≤ 0
9 nmolb2d.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
109recnd 10274 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1110mul01d 10441 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
128, 11syl5breqr 4825 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 0))
13 nmolb2d.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
14 nmolb2d.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑆)
15 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (0g𝑇) = (0g𝑇)
1614, 15ghmid 17874 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹0 ) = (0g𝑇))
1713, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹0 ) = (0g𝑇))
1817fveq2d 6337 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹0 )) = (𝑀‘(0g𝑇)))
19 nmolb2d.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ NrmGrp)
20 nmofval.4 . . . . . . . . 9 𝑀 = (norm‘𝑇)
2120, 15nm0 22653 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
2318, 22eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹0 )) = 0)
24 nmolb2d.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ NrmGrp)
25 nmofval.3 . . . . . . . . 9 𝐿 = (norm‘𝑆)
2625, 14nm0 22653 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿0 ) = 0)
2724, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿0 ) = 0)
2827oveq2d 6812 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · (𝐿0 )) = (𝐴 · 0))
2912, 23, 283brtr4d 4819 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝐹0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿0 )))
3029adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑀‘(𝐹0 )) ≤ (𝐴 · (𝐿0 )))
315, 7, 30pm2.61ne 3028 . . 3 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
3231ralrimiva 3115 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)))
33 nmolb2d.5 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
34 nmofval.1 . . . 4 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
35 nmofval.2 . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑆)
3634, 35, 25, 20nmolb 22741 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
3724, 19, 13, 9, 33, 36syl311anc 1490 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝑉 (𝑀‘(𝐹𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿𝑥)) → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴))
3832, 37mpd 15 1 (𝜑 → (𝑁𝐹) ≤ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061   class class class wbr 4787  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  ℝcr 10141  0cc0 10142   · cmul 10147   ≤ cle 10281  Basecbs 16064  0gc0g 16308   GrpHom cghm 17865  normcnm 22601  NrmGrpcngp 22602   normOp cnmo 22729 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ico 12386  df-0g 16310  df-topgen 16312  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-ghm 17866  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-xms 22345  df-ms 22346  df-nm 22607  df-ngp 22608  df-nmo 22732 This theorem is referenced by:  nmo0  22759  nmoco  22761  nmotri  22763  nmoid  22766  nmoleub2lem  23133
 Copyright terms: Public domain W3C validator