Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoix 22580
 Description: The operator norm is a bound on the size of an operator, even when it is infinite (using extended real multiplication). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4 𝑀 = (norm‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmoix (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)))

Proof of Theorem nmoix
StepHypRef Expression
1 nmofval.1 . . . . . . 7 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
21isnghm2 22575 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ↔ (𝑁𝐹) ∈ ℝ))
32biimpar 501 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇))
4 nmoi.2 . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑆)
5 nmoi.3 . . . . . 6 𝐿 = (norm‘𝑆)
6 nmoi.4 . . . . . 6 𝑀 = (norm‘𝑇)
71, 4, 5, 6nmoi 22579 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 NGHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)))
83, 7sylan 487 . . . 4 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)))
98an32s 863 . . 3 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)))
10 id 22 . . . 4 ((𝑁𝐹) ∈ ℝ → (𝑁𝐹) ∈ ℝ)
114, 5nmcl 22467 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ)
12113ad2antl1 1243 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ)
13 rexmul 12139 . . . 4 (((𝑁𝐹) ∈ ℝ ∧ (𝐿𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) = ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)))
1410, 12, 13syl2anr 494 . . 3 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) = ((𝑁𝐹) · (𝐿𝑋)))
159, 14breqtrrd 4713 . 2 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑁𝐹) ∈ ℝ) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)))
16 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑋 = (0g𝑆) → (𝐹𝑋) = (𝐹‘(0g𝑆)))
1716fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑋 = (0g𝑆) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) = (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))))
18 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑋 = (0g𝑆) → (𝐿𝑋) = (𝐿‘(0g𝑆)))
1918oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑋 = (0g𝑆) → (+∞ ·e (𝐿𝑋)) = (+∞ ·e (𝐿‘(0g𝑆))))
2017, 19breq12d 4698 . . . . 5 (𝑋 = (0g𝑆) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿𝑋)) ↔ (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘(0g𝑆)))))
21 simpl2 1085 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
22 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
234, 22ghmf 17711 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
2423ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
25243ad2antl3 1245 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
2622, 6nmcl 22467 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
2721, 25, 26syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
2827adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
2928rexrd 10127 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ*)
30 pnfge 12002 . . . . . . 7 ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ* → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ +∞)
3129, 30syl 17 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ +∞)
32 simp1 1081 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
33 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (0g𝑆) = (0g𝑆)
344, 5, 33nmrpcl 22471 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
35343expa 1284 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
3632, 35sylanl1 683 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
37 rpxr 11878 . . . . . . . 8 ((𝐿𝑋) ∈ ℝ+ → (𝐿𝑋) ∈ ℝ*)
38 rpgt0 11882 . . . . . . . 8 ((𝐿𝑋) ∈ ℝ+ → 0 < (𝐿𝑋))
39 xmulpnf2 12143 . . . . . . . 8 (((𝐿𝑋) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐿𝑋)) → (+∞ ·e (𝐿𝑋)) = +∞)
4037, 38, 39syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝐿𝑋) ∈ ℝ+ → (+∞ ·e (𝐿𝑋)) = +∞)
4136, 40syl 17 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (+∞ ·e (𝐿𝑋)) = +∞)
4231, 41breqtrrd 4713 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑆)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿𝑋)))
43 0le0 11148 . . . . . 6 0 ≤ 0
44 simpl3 1086 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
45 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑇) = (0g𝑇)
4633, 45ghmid 17713 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
4744, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
4847fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) = (𝑀‘(0g𝑇)))
496, 45nm0 22480 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ NrmGrp → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
5021, 49syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(0g𝑇)) = 0)
5148, 50eqtrd 2685 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) = 0)
52 simpl1 1084 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
535, 33nm0 22480 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ NrmGrp → (𝐿‘(0g𝑆)) = 0)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐿‘(0g𝑆)) = 0)
5554oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (+∞ ·e (𝐿‘(0g𝑆))) = (+∞ ·e 0))
56 pnfxr 10130 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
57 xmul01 12135 . . . . . . . . 9 (+∞ ∈ ℝ* → (+∞ ·e 0) = 0)
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8 (+∞ ·e 0) = 0
5955, 58syl6eq 2701 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (+∞ ·e (𝐿‘(0g𝑆))) = 0)
6051, 59breq12d 4698 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘(0g𝑆))) ↔ 0 ≤ 0))
6143, 60mpbiri 248 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹‘(0g𝑆))) ≤ (+∞ ·e (𝐿‘(0g𝑆))))
6220, 42, 61pm2.61ne 2908 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿𝑋)))
6362adantr 480 . . 3 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑁𝐹) = +∞) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ (+∞ ·e (𝐿𝑋)))
64 simpr 476 . . . 4 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑁𝐹) = +∞) → (𝑁𝐹) = +∞)
6564oveq1d 6705 . . 3 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑁𝐹) = +∞) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) = (+∞ ·e (𝐿𝑋)))
6663, 65breqtrrd 4713 . 2 ((((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) ∧ (𝑁𝐹) = +∞) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)))
671nmocl 22571 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
681nmoge0 22572 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁𝐹))
69 ge0nemnf 12042 . . . . . 6 (((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑁𝐹)) → (𝑁𝐹) ≠ -∞)
7067, 68, 69syl2anc 694 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) ≠ -∞)
7167, 70jca 553 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝑁𝐹) ≠ -∞))
72 xrnemnf 11989 . . . 4 (((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝑁𝐹) ≠ -∞) ↔ ((𝑁𝐹) ∈ ℝ ∨ (𝑁𝐹) = +∞))
7371, 72sylib 208 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → ((𝑁𝐹) ∈ ℝ ∨ (𝑁𝐹) = +∞))
7473adantr 480 . 2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑁𝐹) ∈ ℝ ∨ (𝑁𝐹) = +∞))
7515, 66, 74mpjaodan 844 1 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  ℝ+crp 11870   ·e cxmu 11983  Basecbs 15904  0gc0g 16147   GrpHom cghm 17704  normcnm 22428  NrmGrpcngp 22429   normOp cnmo 22556   NGHom cnghm 22557 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ico 12219  df-0g 16149  df-topgen 16151  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-ghm 17705  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-xms 22172  df-ms 22173  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nmo 22559  df-nghm 22560 This theorem is referenced by:  nmoi2  22581  nmoleub2lem  22960
 Copyright terms: Public domain W3C validator