MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmoi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoi2 22754
Description: The operator norm is a bound on the growth of a vector under the action of the operator. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmofval.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmoi.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmoi.3 𝐿 = (norm‘𝑆)
nmoi.4 𝑀 = (norm‘𝑇)
nmoi2.z 0 = (0g𝑆)
Assertion
Ref Expression
nmoi2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ (𝑁𝐹))

Proof of Theorem nmoi2
StepHypRef Expression
1 simpl2 1229 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
2 simpl3 1231 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
3 nmoi.2 . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑆)
4 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
53, 4ghmf 17872 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
62, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → 𝐹:𝑉⟶(Base‘𝑇))
7 simprl 754 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → 𝑋𝑉)
86, 7ffvelrnd 6503 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇))
9 nmoi.4 . . . . . 6 𝑀 = (norm‘𝑇)
104, 9nmcl 22640 . . . . 5 ((𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
111, 8, 10syl2anc 573 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
1211rexrd 10291 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ*)
13 nmofval.1 . . . . . 6 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
1413nmocl 22744 . . . . 5 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
1514adantr 466 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝑁𝐹) ∈ ℝ*)
16 nmoi.3 . . . . . . . 8 𝐿 = (norm‘𝑆)
17 nmoi2.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑆)
183, 16, 17nmrpcl 22644 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
19183expb 1113 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
20193ad2antl1 1200 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ+)
2120rpxrd 12076 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ*)
2215, 21xmulcld 12337 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ∈ ℝ*)
2320rpreccld 12085 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ+)
2423rpxrd 12076 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ*)
2523rpge0d 12079 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → 0 ≤ (1 / (𝐿𝑋)))
2624, 25jca 501 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿𝑋))))
2713, 3, 16, 9nmoix 22753 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)))
2827adantrr 696 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)))
29 xlemul1a 12323 . . 3 ((((𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ∈ ℝ* ∧ ((1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / (𝐿𝑋)))) ∧ (𝑀‘(𝐹𝑋)) ≤ ((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋))) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) ≤ (((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))))
3012, 22, 26, 28, 29syl31anc 1479 . 2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) ≤ (((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))))
3123rpred 12075 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ)
32 rexmul 12306 . . . 4 (((𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹𝑋)) · (1 / (𝐿𝑋))))
3311, 31, 32syl2anc 573 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹𝑋)) · (1 / (𝐿𝑋))))
3411recnd 10270 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝑀‘(𝐹𝑋)) ∈ ℂ)
3520rpcnd 12077 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐿𝑋) ∈ ℂ)
3620rpne0d 12080 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐿𝑋) ≠ 0)
3734, 35, 36divrecd 11006 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) = ((𝑀‘(𝐹𝑋)) · (1 / (𝐿𝑋))))
3833, 37eqtr4d 2808 . 2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)))
39 xmulass 12322 . . . 4 (((𝑁𝐹) ∈ ℝ* ∧ (𝐿𝑋) ∈ ℝ* ∧ (1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ*) → (((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝑁𝐹) ·e ((𝐿𝑋) ·e (1 / (𝐿𝑋)))))
4015, 21, 24, 39syl3anc 1476 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝑁𝐹) ·e ((𝐿𝑋) ·e (1 / (𝐿𝑋)))))
4120rpred 12075 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (𝐿𝑋) ∈ ℝ)
42 rexmul 12306 . . . . . 6 (((𝐿𝑋) ∈ ℝ ∧ (1 / (𝐿𝑋)) ∈ ℝ) → ((𝐿𝑋) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝐿𝑋) · (1 / (𝐿𝑋))))
4341, 31, 42syl2anc 573 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝐿𝑋) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = ((𝐿𝑋) · (1 / (𝐿𝑋))))
4435, 36recidd 10998 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝐿𝑋) · (1 / (𝐿𝑋))) = 1)
4543, 44eqtrd 2805 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝐿𝑋) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = 1)
4645oveq2d 6809 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑁𝐹) ·e ((𝐿𝑋) ·e (1 / (𝐿𝑋)))) = ((𝑁𝐹) ·e 1))
47 xmulid1 12314 . . . 4 ((𝑁𝐹) ∈ ℝ* → ((𝑁𝐹) ·e 1) = (𝑁𝐹))
4815, 47syl 17 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑁𝐹) ·e 1) = (𝑁𝐹))
4940, 46, 483eqtrd 2809 . 2 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → (((𝑁𝐹) ·e (𝐿𝑋)) ·e (1 / (𝐿𝑋))) = (𝑁𝐹))
5030, 38, 493brtr3d 4817 1 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) ∧ (𝑋𝑉𝑋0 )) → ((𝑀‘(𝐹𝑋)) / (𝐿𝑋)) ≤ (𝑁𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4786  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   · cmul 10143  *cxr 10275  cle 10277   / cdiv 10886  +crp 12035   ·e cxmu 12150  Basecbs 16064  0gc0g 16308   GrpHom cghm 17865  normcnm 22601  NrmGrpcngp 22602   normOp cnmo 22729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ico 12386  df-0g 16310  df-topgen 16312  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-ghm 17866  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-xms 22345  df-ms 22346  df-nm 22607  df-ngp 22608  df-nmo 22732  df-nghm 22733
This theorem is referenced by:  nmoleub  22755
  Copyright terms: Public domain W3C validator