MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmogtmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmogtmnf 27965
Description: The norm of an operator is greater than minus infinity. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoxr.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoxr.2 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoxr.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
Assertion
Ref Expression
nmogtmnf ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → -∞ < (𝑁𝑇))

Proof of Theorem nmogtmnf
StepHypRef Expression
1 nmoxr.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nmoxr.2 . . . 4 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3 nmoxr.3 . . . 4 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
41, 2, 3nmorepnf 27963 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁𝑇) ≠ +∞))
5 df-ne 2944 . . 3 ((𝑁𝑇) ≠ +∞ ↔ ¬ (𝑁𝑇) = +∞)
64, 5syl6bb 276 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ ¬ (𝑁𝑇) = +∞))
7 xor3 371 . . 3 (¬ ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁𝑇) = +∞) ↔ ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ ¬ (𝑁𝑇) = +∞))
8 nbior 874 . . 3 (¬ ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ (𝑁𝑇) = +∞) → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ∨ (𝑁𝑇) = +∞))
97, 8sylbir 225 . 2 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ ¬ (𝑁𝑇) = +∞) → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ∨ (𝑁𝑇) = +∞))
10 mnfltxr 12166 . 2 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ ∨ (𝑁𝑇) = +∞) → -∞ < (𝑁𝑇))
116, 9, 103syl 18 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → -∞ < (𝑁𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4786  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  +∞cpnf 10273  -∞cmnf 10274   < clt 10276  NrmCVeccnv 27779  BaseSetcba 27781   normOpOLD cnmoo 27936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-nmcv 27795  df-nmoo 27940
This theorem is referenced by:  nmobndi  27970  nmblore  27981  ubthlem3  28068
  Copyright terms: Public domain W3C validator