Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmo0 22761
 Description: The operator norm of the zero operator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmo0.1 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
nmo0.2 𝑉 = (Base‘𝑆)
nmo0.3 0 = (0g𝑇)
Assertion
Ref Expression
nmo0 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)

Proof of Theorem nmo0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmo0.1 . . 3 𝑁 = (𝑆 normOp 𝑇)
2 nmo0.2 . . 3 𝑉 = (Base‘𝑆)
3 eqid 2761 . . 3 (norm‘𝑆) = (norm‘𝑆)
4 eqid 2761 . . 3 (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
5 eqid 2761 . . 3 (0g𝑆) = (0g𝑆)
6 simpl 474 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑆 ∈ NrmGrp)
7 simpr 479 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 𝑇 ∈ NrmGrp)
8 ngpgrp 22625 . . . 4 (𝑆 ∈ NrmGrp → 𝑆 ∈ Grp)
9 ngpgrp 22625 . . . 4 (𝑇 ∈ NrmGrp → 𝑇 ∈ Grp)
10 nmo0.3 . . . . 5 0 = (0g𝑇)
1110, 20ghm 17896 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
128, 9, 11syl2an 495 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
13 0red 10254 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 0 ∈ ℝ)
14 0le0 11323 . . . 4 0 ≤ 0
1514a1i 11 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 0 ≤ 0)
16 fvex 6364 . . . . . . . . 9 (0g𝑇) ∈ V
1710, 16eqeltri 2836 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1817fvconst2 6635 . . . . . . 7 (𝑥𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
1918ad2antrl 766 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥𝑉𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
2019fveq2d 6358 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥𝑉𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) = ((norm‘𝑇)‘ 0 ))
214, 10nm0 22655 . . . . . 6 (𝑇 ∈ NrmGrp → ((norm‘𝑇)‘ 0 ) = 0)
2221ad2antlr 765 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥𝑉𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘ 0 ) = 0)
2320, 22eqtrd 2795 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥𝑉𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) = 0)
242, 3nmcl 22642 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑥𝑉) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
2524ad2ant2r 800 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥𝑉𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℝ)
2625recnd 10281 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥𝑉𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑆)‘𝑥) ∈ ℂ)
2726mul02d 10447 . . . . 5 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥𝑉𝑥 ≠ (0g𝑆))) → (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)) = 0)
2814, 27syl5breqr 4843 . . . 4 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥𝑉𝑥 ≠ (0g𝑆))) → 0 ≤ (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
2923, 28eqbrtrd 4827 . . 3 (((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) ∧ (𝑥𝑉𝑥 ≠ (0g𝑆))) → ((norm‘𝑇)‘((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) ≤ (0 · ((norm‘𝑆)‘𝑥)))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13, 15, 29nmolb2d 22744 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ≤ 0)
311nmoge0 22747 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))
3212, 31mpd3an3 1574 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))
331nmocl 22746 . . . 4 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇)) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ*)
3412, 33mpd3an3 1574 . . 3 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ*)
35 0xr 10299 . . 3 0 ∈ ℝ*
36 xrletri3 12199 . . 3 (((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0 ↔ ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))))
3734, 35, 36sylancl 697 . 2 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0 ↔ ((𝑁‘(𝑉 × { 0 })) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑁‘(𝑉 × { 0 })))))
3830, 32, 37mpbir2and 995 1 ((𝑆 ∈ NrmGrp ∧ 𝑇 ∈ NrmGrp) → (𝑁‘(𝑉 × { 0 })) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ≠ wne 2933  Vcvv 3341  {csn 4322   class class class wbr 4805   × cxp 5265  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  ℝcr 10148  0cc0 10149   · cmul 10154  ℝ*cxr 10286   ≤ cle 10288  Basecbs 16080  0gc0g 16323  Grpcgrp 17644   GrpHom cghm 17879  normcnm 22603  NrmGrpcngp 22604   normOp cnmo 22731 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ico 12395  df-0g 16325  df-topgen 16327  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-mhm 17557  df-grp 17647  df-ghm 17880  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-top 20922  df-topon 20939  df-topsp 20960  df-bases 20973  df-xms 22347  df-ms 22348  df-nm 22609  df-ngp 22610  df-nmo 22734 This theorem is referenced by:  nmoeq0  22762  0nghm  22767  idnghm  22769
 Copyright terms: Public domain W3C validator