HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmlnop0iALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmlnop0iALT 28982
Description: A linear operator with a zero norm is identically zero. (Contributed by NM, 8-Feb-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmlnop0.1 𝑇 ∈ LinOp
Assertion
Ref Expression
nmlnop0iALT ((normop𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )

Proof of Theorem nmlnop0iALT
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 normcl 28110 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
21recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℂ)
32adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm𝑥) ∈ ℂ)
4 norm-i 28114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
5 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → (𝑇𝑥) = (𝑇‘0))
6 nmlnop0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 ∈ LinOp
76lnop0i 28957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇‘0) = 0
85, 7syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 0 → (𝑇𝑥) = 0)
94, 8syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) = 0 → (𝑇𝑥) = 0))
109necon3d 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇𝑥) ≠ 0 → (norm𝑥) ≠ 0))
1110imp 444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm𝑥) ≠ 0)
123, 11recne0d 10833 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (1 / (norm𝑥)) ≠ 0)
13 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (𝑇𝑥) ≠ 0)
143, 11reccld 10832 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ)
156lnopfi 28956 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇: ℋ⟶ ℋ
1615ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
18 hvmul0or 28010 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) = 0 ↔ ((1 / (norm𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 0)))
1914, 17, 18syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) = 0 ↔ ((1 / (norm𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 0)))
2019necon3abid 2859 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) ≠ 0 ↔ ¬ ((1 / (norm𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 0)))
21 neanior 2915 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (norm𝑥)) ≠ 0 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) ↔ ¬ ((1 / (norm𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 0))
2220, 21syl6bbr 278 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) ≠ 0 ↔ ((1 / (norm𝑥)) ≠ 0 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0)))
2312, 13, 22mpbir2and 977 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → ((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) ≠ 0)
24 hvmulcl 27998 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
2514, 17, 24syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → ((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
26 normgt0 28112 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ → (((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) ≠ 0 ↔ 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) ≠ 0 ↔ 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))))
2823, 27mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))))
2928ex 449 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇𝑥) ≠ 0 → 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))))
3029adantl 481 . . . . . . 7 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ≠ 0 → 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))))
31 nmopsetretHIL 28851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ)
3215, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ
33 ressxr 10121 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
3432, 33sstri 3645 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ*
35 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → 𝑥 ∈ ℋ)
36 hvmulcl 27998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ ℋ)
3714, 35, 36syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ ℋ)
388necon3i 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇𝑥) ≠ 0𝑥 ≠ 0)
39 norm1 28234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = 1)
4038, 39sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = 1)
41 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
4240, 41syl6eqel 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ∈ ℝ)
43 eqle 10177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = 1) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ≤ 1)
4442, 40, 43syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ≤ 1)
456lnopmuli 28959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = ((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))
4614, 35, 45syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (𝑇‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = ((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))
4746eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → ((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) = (𝑇‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)))
4847fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥))))
49 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) → (norm𝑧) = (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)))
5049breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) → ((norm𝑧) ≤ 1 ↔ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ≤ 1))
51 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) → (𝑇𝑧) = (𝑇‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)))
5251fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) → (norm‘(𝑇𝑧)) = (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥))))
5352eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) → ((norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇𝑧)) ↔ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)))))
5450, 53anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) → (((norm𝑧) ≤ 1 ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇𝑧))) ↔ ((norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ≤ 1 ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥))))))
5554rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ ℋ ∧ ((norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ≤ 1 ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥))))) → ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇𝑧))))
5637, 44, 48, 55syl12anc 1364 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇𝑧))))
57 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . 14 (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ∈ V
58 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) → (𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)) ↔ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇𝑧))))
5958anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) → (((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧))) ↔ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇𝑧)))))
6059rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) → (∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇𝑧)))))
6157, 60elab 3382 . . . . . . . . . . . . 13 ((norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))} ↔ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇𝑧))))
6256, 61sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))})
63 supxrub 12192 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ* ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))}) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ≤ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
6434, 62, 63sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ≤ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
6564adantll 750 . . . . . . . . . 10 ((((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ≤ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
66 nmopval 28843 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop𝑇) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
6715, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (normop𝑇) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < )
6867eqeq1i 2656 . . . . . . . . . . . 12 ((normop𝑇) = 0 ↔ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) = 0)
6968biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 ((normop𝑇) = 0 → sup({𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) = 0)
7069ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → sup({𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) = 0)
7165, 70breqtrd 4711 . . . . . . . . 9 ((((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ≤ 0)
72 normcl 28110 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
7325, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
74 0re 10078 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
75 lenlt 10154 . . . . . . . . . . 11 (((norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))))
7673, 74, 75sylancl 695 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → ((norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))))
7776adantll 750 . . . . . . . . 9 ((((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → ((norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))))
7871, 77mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → ¬ 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))))
7978ex 449 . . . . . . 7 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ≠ 0 → ¬ 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))))
8030, 79pm2.65d 187 . . . . . 6 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ¬ (𝑇𝑥) ≠ 0)
81 nne 2827 . . . . . 6 (¬ (𝑇𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑇𝑥) = 0)
8280, 81sylib 208 . . . . 5 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) = 0)
83 ho0val 28737 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop𝑥) = 0)
8483adantl 481 . . . . 5 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ( 0hop𝑥) = 0)
8582, 84eqtr4d 2688 . . . 4 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) = ( 0hop𝑥))
8685ralrimiva 2995 . . 3 ((normop𝑇) = 0 → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = ( 0hop𝑥))
87 ffn 6083 . . . . 5 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
8815, 87ax-mp 5 . . . 4 𝑇 Fn ℋ
89 ho0f 28738 . . . . 5 0hop : ℋ⟶ ℋ
90 ffn 6083 . . . . 5 ( 0hop : ℋ⟶ ℋ → 0hop Fn ℋ)
9189, 90ax-mp 5 . . . 4 0hop Fn ℋ
92 eqfnfv 6351 . . . 4 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 0hop Fn ℋ) → (𝑇 = 0hop ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = ( 0hop𝑥)))
9388, 91, 92mp2an 708 . . 3 (𝑇 = 0hop ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = ( 0hop𝑥))
9486, 93sylibr 224 . 2 ((normop𝑇) = 0 → 𝑇 = 0hop )
95 fveq2 6229 . . 3 (𝑇 = 0hop → (normop𝑇) = (normop‘ 0hop ))
96 nmop0 28973 . . 3 (normop‘ 0hop ) = 0
9795, 96syl6eq 2701 . 2 (𝑇 = 0hop → (normop𝑇) = 0)
9894, 97impbii 199 1 ((normop𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  {cab 2637  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607   class class class wbr 4685   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  supcsup 8387  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  chil 27904   · csm 27906  normcno 27908  0c0v 27909   0hop ch0o 27928  normopcnop 27930  LinOpclo 27932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070  ax-hcompl 28187
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-ssp 27705  df-ph 27796  df-cbn 27847  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-hcau 27958  df-sh 28192  df-ch 28206  df-oc 28237  df-ch0 28238  df-shs 28295  df-pjh 28382  df-h0op 28735  df-nmop 28826  df-lnop 28828
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator