Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmlnop0iALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmlnop0iALT 28982
 Description: A linear operator with a zero norm is identically zero. (Contributed by NM, 8-Feb-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
nmlnop0.1 𝑇 ∈ LinOp
Assertion
Ref Expression
nmlnop0iALT ((normop𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )

Proof of Theorem nmlnop0iALT
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 normcl 28110 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℝ)
21recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (norm𝑥) ∈ ℂ)
32adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm𝑥) ∈ ℂ)
4 norm-i 28114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
5 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → (𝑇𝑥) = (𝑇‘0))
6 nmlnop0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 ∈ LinOp
76lnop0i 28957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇‘0) = 0
85, 7syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 0 → (𝑇𝑥) = 0)
94, 8syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) = 0 → (𝑇𝑥) = 0))
109necon3d 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇𝑥) ≠ 0 → (norm𝑥) ≠ 0))
1110imp 444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm𝑥) ≠ 0)
123, 11recne0d 10833 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (1 / (norm𝑥)) ≠ 0)
13 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (𝑇𝑥) ≠ 0)
143, 11reccld 10832 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ)
156lnopfi 28956 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇: ℋ⟶ ℋ
1615ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
18 hvmul0or 28010 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) = 0 ↔ ((1 / (norm𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 0)))
1914, 17, 18syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) = 0 ↔ ((1 / (norm𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 0)))
2019necon3abid 2859 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) ≠ 0 ↔ ¬ ((1 / (norm𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 0)))
21 neanior 2915 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (norm𝑥)) ≠ 0 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) ↔ ¬ ((1 / (norm𝑥)) = 0 ∨ (𝑇𝑥) = 0))
2220, 21syl6bbr 278 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) ≠ 0 ↔ ((1 / (norm𝑥)) ≠ 0 ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0)))
2312, 13, 22mpbir2and 977 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → ((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) ≠ 0)
24 hvmulcl 27998 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
2514, 17, 24syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → ((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
26 normgt0 28112 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ → (((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) ≠ 0 ↔ 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) ≠ 0 ↔ 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))))
2823, 27mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))))
2928ex 449 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇𝑥) ≠ 0 → 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))))
3029adantl 481 . . . . . . 7 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ≠ 0 → 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))))
31 nmopsetretHIL 28851 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ)
3215, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ
33 ressxr 10121 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℝ*
3432, 33sstri 3645 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ*
35 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → 𝑥 ∈ ℋ)
36 hvmulcl 27998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ ℋ)
3714, 35, 36syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ ℋ)
388necon3i 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇𝑥) ≠ 0𝑥 ≠ 0)
39 norm1 28234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = 1)
4038, 39sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = 1)
41 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
4240, 41syl6eqel 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ∈ ℝ)
43 eqle 10177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ∈ ℝ ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = 1) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ≤ 1)
4442, 40, 43syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ≤ 1)
456lnopmuli 28959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1 / (norm𝑥)) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = ((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))
4614, 35, 45syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (𝑇‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) = ((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))
4746eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → ((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) = (𝑇‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)))
4847fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥))))
49 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) → (norm𝑧) = (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)))
5049breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) → ((norm𝑧) ≤ 1 ↔ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ≤ 1))
51 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) → (𝑇𝑧) = (𝑇‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)))
5251fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) → (norm‘(𝑇𝑧)) = (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥))))
5352eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) → ((norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇𝑧)) ↔ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)))))
5450, 53anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) → (((norm𝑧) ≤ 1 ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇𝑧))) ↔ ((norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ≤ 1 ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥))))))
5554rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((1 / (norm𝑥)) · 𝑥) ∈ ℋ ∧ ((norm‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥)) ≤ 1 ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇‘((1 / (norm𝑥)) · 𝑥))))) → ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇𝑧))))
5637, 44, 48, 55syl12anc 1364 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇𝑧))))
57 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . 14 (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ∈ V
58 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) → (𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)) ↔ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇𝑧))))
5958anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) → (((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧))) ↔ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇𝑧)))))
6059rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) → (∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧))) ↔ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇𝑧)))))
6157, 60elab 3382 . . . . . . . . . . . . 13 ((norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))} ↔ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) = (norm‘(𝑇𝑧))))
6256, 61sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))})
63 supxrub 12192 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))} ⊆ ℝ* ∧ (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))}) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ≤ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
6434, 62, 63sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ≤ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
6564adantll 750 . . . . . . . . . 10 ((((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ≤ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
66 nmopval 28843 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (normop𝑇) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ))
6715, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (normop𝑇) = sup({𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < )
6867eqeq1i 2656 . . . . . . . . . . . 12 ((normop𝑇) = 0 ↔ sup({𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) = 0)
6968biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 ((normop𝑇) = 0 → sup({𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) = 0)
7069ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → sup({𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ ℋ ((norm𝑧) ≤ 1 ∧ 𝑦 = (norm‘(𝑇𝑧)))}, ℝ*, < ) = 0)
7165, 70breqtrd 4711 . . . . . . . . 9 ((((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ≤ 0)
72 normcl 28110 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
7325, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
74 0re 10078 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
75 lenlt 10154 . . . . . . . . . . 11 (((norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))))
7673, 74, 75sylancl 695 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → ((norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))))
7776adantll 750 . . . . . . . . 9 ((((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → ((norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))))
7871, 77mpbid 222 . . . . . . . 8 ((((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (𝑇𝑥) ≠ 0) → ¬ 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥))))
7978ex 449 . . . . . . 7 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ≠ 0 → ¬ 0 < (norm‘((1 / (norm𝑥)) · (𝑇𝑥)))))
8030, 79pm2.65d 187 . . . . . 6 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ¬ (𝑇𝑥) ≠ 0)
81 nne 2827 . . . . . 6 (¬ (𝑇𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑇𝑥) = 0)
8280, 81sylib 208 . . . . 5 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) = 0)
83 ho0val 28737 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop𝑥) = 0)
8483adantl 481 . . . . 5 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ( 0hop𝑥) = 0)
8582, 84eqtr4d 2688 . . . 4 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) = ( 0hop𝑥))
8685ralrimiva 2995 . . 3 ((normop𝑇) = 0 → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = ( 0hop𝑥))
87 ffn 6083 . . . . 5 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
8815, 87ax-mp 5 . . . 4 𝑇 Fn ℋ
89 ho0f 28738 . . . . 5 0hop : ℋ⟶ ℋ
90 ffn 6083 . . . . 5 ( 0hop : ℋ⟶ ℋ → 0hop Fn ℋ)
9189, 90ax-mp 5 . . . 4 0hop Fn ℋ
92 eqfnfv 6351 . . . 4 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 0hop Fn ℋ) → (𝑇 = 0hop ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = ( 0hop𝑥)))
9388, 91, 92mp2an 708 . . 3 (𝑇 = 0hop ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇𝑥) = ( 0hop𝑥))
9486, 93sylibr 224 . 2 ((normop𝑇) = 0 → 𝑇 = 0hop )
95 fveq2 6229 . . 3 (𝑇 = 0hop → (normop𝑇) = (normop‘ 0hop ))
96 nmop0 28973 . . 3 (normop‘ 0hop ) = 0
9795, 96syl6eq 2701 . 2 (𝑇 = 0hop → (normop𝑇) = 0)
9894, 97impbii 199 1 ((normop𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cab 2637   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  supcsup 8387  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   / cdiv 10722   ℋchil 27904   ·ℎ csm 27906  normℎcno 27908  0ℎc0v 27909   0hop ch0o 27928  normopcnop 27930  LinOpclo 27932 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070  ax-hcompl 28187 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-ssp 27705  df-ph 27796  df-cbn 27847  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-hcau 27958  df-sh 28192  df-ch 28206  df-oc 28237  df-ch0 28238  df-shs 28295  df-pjh 28382  df-h0op 28735  df-nmop 28826  df-lnop 28828 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator