Theorem nminv 22646

Description: The norm of a negated element is the same as the norm of the original element. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nminv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nminv	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) = (𝑁‘𝐴))

Proof of Theorem nminv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 22624	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2	1	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
3		nmf.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5	3, 4	grpidcl 17671	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
7		nmf.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
10	7, 3, 8, 9	ngpdsr 22630	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝑁‘((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴)))
11	6, 10	mpd3an3 1574	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)) = (𝑁‘((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴)))
12	7, 3, 4, 9	nmval 22615	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
13	12	adantl 473	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺)(0g‘𝐺)))
14		nminv.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
15	3, 8, 14, 4	grpinvval2 17719	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝐴) = ((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴))
16	1, 15	sylan 489	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝐴) = ((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴))
17	16	fveq2d 6357	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) = (𝑁‘((0g‘𝐺)(-g‘𝐺)𝐴)))
18	11, 13, 17	3eqtr4rd 2805	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐼‘𝐴)) = (𝑁‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  distcds 16172  0_gc0g 16322  Grpcgrp 17643  inv_gcminusg 17644  -_gcsg 17645  normcnm 22602  NrmGrpcngp 22603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-0g 16324  df-topgen 16326  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-xms 22346  df-ms 22347  df-nm 22608  df-ngp 22609

This theorem is referenced by:  nmsub  22648  nmtri  22651  tngngp3  22681  cnncvsabsnegdemo  23185