Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfnsetn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmfnsetn0 29071
 Description: The set in the supremum of the functional norm definition df-nmfn 29038 is nonempty. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnsetn0 (abs‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem nmfnsetn0
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 28194 . . 3 0 ∈ ℋ
2 norm0 28319 . . . . 5 (norm‘0) = 0
3 0le1 10752 . . . . 5 0 ≤ 1
42, 3eqbrtri 4805 . . . 4 (norm‘0) ≤ 1
5 eqid 2770 . . . 4 (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇‘0))
64, 5pm3.2i 447 . . 3 ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇‘0)))
7 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → (norm𝑦) = (norm‘0))
87breq1d 4794 . . . . 5 (𝑦 = 0 → ((norm𝑦) ≤ 1 ↔ (norm‘0) ≤ 1))
9 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 → (𝑇𝑦) = (𝑇‘0))
109fveq2d 6336 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → (abs‘(𝑇𝑦)) = (abs‘(𝑇‘0)))
1110eqeq2d 2780 . . . . 5 (𝑦 = 0 → ((abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇‘0))))
128, 11anbi12d 608 . . . 4 (𝑦 = 0 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇‘0)))))
1312rspcev 3458 . . 3 ((0 ∈ ℋ ∧ ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇‘0)))) → ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦))))
141, 6, 13mp2an 664 . 2 𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦)))
15 fvex 6342 . . 3 (abs‘(𝑇‘0)) ∈ V
16 eqeq1 2774 . . . . 5 (𝑥 = (abs‘(𝑇‘0)) → (𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦))))
1716anbi2d 606 . . . 4 (𝑥 = (abs‘(𝑇‘0)) → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦)))))
1817rexbidv 3199 . . 3 (𝑥 = (abs‘(𝑇‘0)) → (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦)))))
1915, 18elab 3499 . 2 ((abs‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦))))
2014, 19mpbir 221 1 (abs‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  {cab 2756  ∃wrex 3061   class class class wbr 4784  ‘cfv 6031  0cc0 10137  1c1 10138   ≤ cle 10276  abscabs 14181   ℋchil 28110  normℎcno 28114  0ℎc0v 28115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-hv0cl 28194  ax-hvmul0 28201  ax-hfi 28270  ax-his3 28275 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-hnorm 28159 This theorem is referenced by:  nmfnrepnf  29073
 Copyright terms: Public domain W3C validator