Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfnrepnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmfnrepnf 29040
 Description: The norm of a Hilbert space functional is either real or plus infinity. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnrepnf (𝑇: ℋ⟶ℂ → ((normfn𝑇) ∈ ℝ ↔ (normfn𝑇) ≠ +∞))

Proof of Theorem nmfnrepnf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmfnsetre 29037 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ℂ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ)
2 nmfnsetn0 29038 . . . 4 (abs‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}
32ne0ii 4058 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))} ≠ ∅
4 supxrre2 12346 . . 3 (({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))} ⊆ ℝ ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))} ≠ ∅) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ) ≠ +∞))
51, 3, 4sylancl 697 . 2 (𝑇: ℋ⟶ℂ → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ) ≠ +∞))
6 nmfnval 29036 . . 3 (𝑇: ℋ⟶ℂ → (normfn𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ))
76eleq1d 2816 . 2 (𝑇: ℋ⟶ℂ → ((normfn𝑇) ∈ ℝ ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ))
86neeq1d 2983 . 2 (𝑇: ℋ⟶ℂ → ((normfn𝑇) ≠ +∞ ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}, ℝ*, < ) ≠ +∞))
95, 7, 83bitr4d 300 1 (𝑇: ℋ⟶ℂ → ((normfn𝑇) ∈ ℝ ↔ (normfn𝑇) ≠ +∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  {cab 2738   ≠ wne 2924  ∃wrex 3043   ⊆ wss 3707  ∅c0 4050   class class class wbr 4796  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  supcsup 8503  ℂcc 10118  ℝcr 10119  1c1 10121  +∞cpnf 10255  ℝ*cxr 10257   < clt 10258   ≤ cle 10259  abscabs 14165   ℋchil 28077  normℎcno 28081  0ℎc0v 28082  normfncnmf 28109 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-hilex 28157  ax-hv0cl 28161  ax-hvmul0 28168  ax-hfi 28237  ax-his3 28242 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-hnorm 28126  df-nmfn 29005 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator