HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmfn0 29126
Description: The norm of the identically zero functional is zero. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfn0 (normfn‘( ℋ × {0})) = 0

Proof of Theorem nmfn0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lnfn 29124 . . 3 ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
2 lnfnf 29023 . . 3 (( ℋ × {0}) ∈ LinFn → ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ)
3 nmfnval 29015 . . 3 (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ → (normfn‘( ℋ × {0})) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
41, 2, 3mp2b 10 . 2 (normfn‘( ℋ × {0})) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < )
5 c0ex 10197 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
65fvconst2 6621 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑦) = 0)
76fveq2d 6344 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) = (abs‘0))
8 abs0 14195 . . . . . . . . . 10 (abs‘0) = 0
97, 8syl6eq 2798 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) = 0)
109eqeq2d 2758 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)) ↔ 𝑥 = 0))
1110anbi2d 742 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℋ → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0)))
1211rexbiia 3166 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
13 ax-hv0cl 28140 . . . . . . . 8 0 ∈ ℋ
14 0le1 10714 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
15 fveq2 6340 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 0 → (norm𝑦) = (norm‘0))
16 norm0 28265 . . . . . . . . . . 11 (norm‘0) = 0
1715, 16syl6eq 2798 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (norm𝑦) = 0)
1817breq1d 4802 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → ((norm𝑦) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
1918rspcev 3437 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℋ ∧ 0 ≤ 1) → ∃𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) ≤ 1)
2013, 14, 19mp2an 710 . . . . . . 7 𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) ≤ 1
21 r19.41v 3215 . . . . . . 7 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0))
2220, 21mpbiran 991 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = 0) ↔ 𝑥 = 0)
2312, 22bitri 264 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦))) ↔ 𝑥 = 0)
2423abbii 2865 . . . 4 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))} = {𝑥𝑥 = 0}
25 df-sn 4310 . . . 4 {0} = {𝑥𝑥 = 0}
2624, 25eqtr4i 2773 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))} = {0}
2726supeq1i 8506 . 2 sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(( ℋ × {0})‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = sup({0}, ℝ*, < )
28 xrltso 12138 . . 3 < Or ℝ*
29 0xr 10249 . . 3 0 ∈ ℝ*
30 supsn 8531 . . 3 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → sup({0}, ℝ*, < ) = 0)
3128, 29, 30mp2an 710 . 2 sup({0}, ℝ*, < ) = 0
324, 27, 313eqtri 2774 1 (normfn‘( ℋ × {0})) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  {cab 2734  wrex 3039  {csn 4309   class class class wbr 4792   Or wor 5174   × cxp 5252  wf 6033  cfv 6037  supcsup 8499  cc 10097  0cc0 10099  1c1 10100  *cxr 10236   < clt 10237  cle 10238  abscabs 14144  chil 28056  normcno 28060  0c0v 28061  normfncnmf 28088  LinFnclf 28091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-hilex 28136  ax-hfvadd 28137  ax-hv0cl 28140  ax-hfvmul 28142  ax-hvmul0 28147  ax-hfi 28216  ax-his3 28221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-hnorm 28105  df-nmfn 28984  df-lnfn 28987
This theorem is referenced by:  nmbdfnlb  29189  branmfn  29244
  Copyright terms: Public domain W3C validator