Theorem nmf2 22598

Description: The norm is a function from the base set into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf2.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
nmf2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
nmf2.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
nmf2.e	⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
nmf2	⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Proof of Theorem nmf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmf2.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
3	1, 2	grpidcl 17651	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (0g‘𝑊) ∈ 𝑋)
4		metcl 22338	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
5	4	3comr 1120	. . . . 5 ⊢ (((0g‘𝑊) ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
6	3, 5	syl3an1 1167	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
7	6	3expa 1112	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐸(0g‘𝑊)) ∈ ℝ)
8		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐸(0g‘𝑊))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐸(0g‘𝑊)))
9	7, 8	fmptd 6548	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐸(0g‘𝑊))):𝑋⟶ℝ)
10		nmf2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
11		nmf2.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑊)
12		nmf2.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))
13	10, 1, 2, 11, 12	nmfval2 22596	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐸(0g‘𝑊))))
14	13	adantr 472	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐸(0g‘𝑊))))
15	14	feq1d 6191	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → (𝑁:𝑋⟶ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥𝐸(0g‘𝑊))):𝑋⟶ℝ))
16	9, 15	mpbird 247	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ (Met‘𝑋)) → 𝑁:𝑋⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264   ↾ cres 5268  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  Basecbs 16059  distcds 16152  0_gc0g 16302  Grpcgrp 17623  Metcme 19934  normcnm 22582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-map 8025  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-met 19942  df-nm 22588

This theorem is referenced by:  isngp2  22602  isngp3  22603  nmf  22620