MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmcnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmcnc 27908
Description: The norm of a normed complex vector space is a continuous function to . (For , see nmcvcn 27907.) (Contributed by NM, 12-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmcnc.1 𝑁 = (normCV𝑈)
nmcnc.2 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
nmcnc.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
nmcnc.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
nmcnc (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem nmcnc
StepHypRef Expression
1 nmcnc.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtop 22827 . . 3 𝐾 ∈ Top
3 cnrest2r 21332 . . 3 (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
42, 3ax-mp 5 . 2 (𝐽 Cn (𝐾t ℝ)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾)
5 nmcnc.1 . . 3 𝑁 = (normCV𝑈)
6 nmcnc.2 . . 3 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
7 nmcnc.j . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
81tgioo2 22846 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = (𝐾t ℝ)
98eqcomi 2783 . . 3 (𝐾t ℝ) = (topGen‘ran (,))
105, 6, 7, 9nmcvcn 27907 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t ℝ)))
114, 10sseldi 3756 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1634  wcel 2148  wss 3729  ran crn 5264  cfv 6042  (class class class)co 6812  cr 10158  (,)cioo 12399  t crest 16309  TopOpenctopn 16310  topGenctg 16326  MetOpencmopn 19971  fldccnfld 19981  Topctop 20938   Cn ccn 21269  NrmCVeccnv 27796  normCVcnmcv 27802  IndMetcims 27803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236  ax-pre-sup 10237  ax-addf 10238  ax-mulf 10239
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-oadd 7738  df-er 7917  df-map 8032  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-fi 8494  df-sup 8525  df-inf 8526  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-div 10908  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-4 11304  df-5 11305  df-6 11306  df-7 11307  df-8 11308  df-9 11309  df-n0 11517  df-z 11602  df-dec 11718  df-uz 11911  df-q 12014  df-rp 12053  df-xneg 12168  df-xadd 12169  df-xmul 12170  df-ioo 12403  df-fz 12556  df-seq 13031  df-exp 13090  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-struct 16086  df-ndx 16087  df-slot 16088  df-base 16090  df-plusg 16182  df-mulr 16183  df-starv 16184  df-tset 16188  df-ple 16189  df-ds 16192  df-unif 16193  df-rest 16311  df-topn 16312  df-topgen 16332  df-psmet 19973  df-xmet 19974  df-met 19975  df-bl 19976  df-mopn 19977  df-cnfld 19982  df-top 20939  df-topon 20956  df-topsp 20978  df-bases 20991  df-cn 21272  df-cnp 21273  df-xms 22365  df-ms 22366  df-grpo 27704  df-gid 27705  df-ginv 27706  df-gdiv 27707  df-ablo 27756  df-vc 27771  df-nv 27804  df-va 27807  df-ba 27808  df-sm 27809  df-0v 27810  df-vs 27811  df-nmcv 27812  df-ims 27813
This theorem is referenced by:  dipcn  27932
  Copyright terms: Public domain W3C validator