Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nltle2tri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nltle2tri 41086
Description: Negated extended trichotomy law for 'less than' and 'less than or equal to'. (Contributed by AV, 18-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nltle2tri ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))

Proof of Theorem nltle2tri
StepHypRef Expression
1 xrltletr 11973 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
2 id 22 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
32impcom 446 . . . . . . . . 9 (((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
4 xrltnle 10090 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶𝐴))
543adant2 1078 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶𝐴))
65biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐶 → ¬ 𝐶𝐴))
76imp 445 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐶) → ¬ 𝐶𝐴)
87olcd 408 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))
98expcom 451 . . . . . . . . 9 (𝐴 < 𝐶 → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
103, 9syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
1110ex 450 . . . . . . 7 ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → (((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))))
1211com23 86 . . . . . 6 ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))))
1312impd 447 . . . . 5 ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
14 id 22 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶))
1514orcd 407 . . . . . 6 (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))
1615a1d 25 . . . . 5 (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
1713, 16pm2.61i 176 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))
18 df-3an 1038 . . . . . 6 ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐶𝐴))
1918notbii 310 . . . . 5 (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ ¬ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐶𝐴))
20 ianor 509 . . . . 5 (¬ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐶𝐴) ↔ (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))
2119, 20bitri 264 . . . 4 (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) ∨ ¬ 𝐶𝐴))
2217, 21sylibr 224 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶)) → ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
2322ex 450 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶) → ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)))
241, 23mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036  wcel 1988   class class class wbr 4644  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065
This theorem is referenced by:  icceuelpart  41136
  Copyright terms: Public domain W3C validator