MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlt1pi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlt1pi 9940
Description: No positive integer is less than one. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nlt1pi ¬ 𝐴 <N 1𝑜

Proof of Theorem nlt1pi
StepHypRef Expression
1 elni 9910 . . . 4 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅))
21simprbi 483 . . 3 (𝐴N𝐴 ≠ ∅)
3 noel 4062 . . . . . 6 ¬ 𝐴 ∈ ∅
4 1pi 9917 . . . . . . . . . 10 1𝑜N
5 ltpiord 9921 . . . . . . . . . 10 ((𝐴N ∧ 1𝑜N) → (𝐴 <N 1𝑜𝐴 ∈ 1𝑜))
64, 5mpan2 709 . . . . . . . . 9 (𝐴N → (𝐴 <N 1𝑜𝐴 ∈ 1𝑜))
7 df-1o 7730 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 = suc ∅
87eleq2i 2831 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 1𝑜𝐴 ∈ suc ∅)
9 elsucg 5953 . . . . . . . . . 10 (𝐴N → (𝐴 ∈ suc ∅ ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
108, 9syl5bb 272 . . . . . . . . 9 (𝐴N → (𝐴 ∈ 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
116, 10bitrd 268 . . . . . . . 8 (𝐴N → (𝐴 <N 1𝑜 ↔ (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅)))
1211biimpa 502 . . . . . . 7 ((𝐴N𝐴 <N 1𝑜) → (𝐴 ∈ ∅ ∨ 𝐴 = ∅))
1312ord 391 . . . . . 6 ((𝐴N𝐴 <N 1𝑜) → (¬ 𝐴 ∈ ∅ → 𝐴 = ∅))
143, 13mpi 20 . . . . 5 ((𝐴N𝐴 <N 1𝑜) → 𝐴 = ∅)
1514ex 449 . . . 4 (𝐴N → (𝐴 <N 1𝑜𝐴 = ∅))
1615necon3ad 2945 . . 3 (𝐴N → (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝐴 <N 1𝑜))
172, 16mpd 15 . 2 (𝐴N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)
18 ltrelpi 9923 . . . . 5 <N ⊆ (N × N)
1918brel 5325 . . . 4 (𝐴 <N 1𝑜 → (𝐴N ∧ 1𝑜N))
2019simpld 477 . . 3 (𝐴 <N 1𝑜𝐴N)
2120con3i 150 . 2 𝐴N → ¬ 𝐴 <N 1𝑜)
2217, 21pm2.61i 176 1 ¬ 𝐴 <N 1𝑜
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  c0 4058   class class class wbr 4804  suc csuc 5886  ωcom 7231  1𝑜c1o 7723  Ncnpi 9878   <N clti 9881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-om 7232  df-1o 7730  df-ni 9906  df-lti 9909
This theorem is referenced by:  indpi  9941  pinq  9961  archnq  10014
  Copyright terms: Public domain W3C validator