MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmvscnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmvscnlem2 22709
Description: Lemma for nlmvscn 22711. Compare this proof with the similar elementary proof mulcn2 14534 for continuity of multiplication on . (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nlmvscn.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
nlmvscn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
nlmvscn.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
nlmvscn.d 𝐷 = (dist‘𝑊)
nlmvscn.e 𝐸 = (dist‘𝐹)
nlmvscn.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
nlmvscn.a 𝐴 = (norm‘𝐹)
nlmvscn.s · = ( ·𝑠𝑊)
nlmvscn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1))
nlmvscn.u 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇))
nlmvscn.w (𝜑𝑊 ∈ NrmMod)
nlmvscn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
nlmvscn.b (𝜑𝐵𝐾)
nlmvscn.x (𝜑𝑋𝑉)
nlmvscn.c (𝜑𝐶𝐾)
nlmvscn.y (𝜑𝑌𝑉)
nlmvscn.1 (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < 𝑈)
nlmvscn.2 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < 𝑇)
Assertion
Ref Expression
nlmvscnlem2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < 𝑅)

Proof of Theorem nlmvscnlem2
StepHypRef Expression
1 nlmvscn.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ NrmMod)
2 nlmngp 22701 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
4 ngpms 22624 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ MetSp)
6 nlmlmod 22702 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
71, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 nlmvscn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐾)
9 nlmvscn.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
10 nlmvscn.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 nlmvscn.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
12 nlmvscn.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
13 nlmvscn.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
1410, 11, 12, 13lmodvscl 19090 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐾𝑋𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
157, 8, 9, 14syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
16 nlmvscn.c . . . 4 (𝜑𝐶𝐾)
17 nlmvscn.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
1810, 11, 12, 13lmodvscl 19090 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶𝐾𝑌𝑉) → (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)
197, 16, 17, 18syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉)
20 nlmvscn.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝑊)
2110, 20mscl 22486 . . 3 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
225, 15, 19, 21syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
2310, 11, 12, 13lmodvscl 19090 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐾𝑌𝑉) → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
247, 8, 17, 23syl3anc 1476 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
2510, 20mscl 22486 . . . 4 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
265, 15, 24, 25syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ∈ ℝ)
2710, 20mscl 22486 . . . 4 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
285, 24, 19, 27syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ∈ ℝ)
2926, 28readdcld 10271 . 2 (𝜑 → (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))) ∈ ℝ)
30 nlmvscn.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
3130rpred 12075 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
3210, 20mstri 22494 . . 3 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ ((𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))))
335, 15, 19, 24, 32syl13anc 1478 . 2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))))
3411nlmngp2 22704 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝐹 ∈ NrmGrp)
351, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ NrmGrp)
36 nlmvscn.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (norm‘𝐹)
3713, 36nmcl 22640 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝐾) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
3835, 8, 37syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
3913, 36nmge0 22641 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝐾) → 0 ≤ (𝐴𝐵))
4035, 8, 39syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐵))
4138, 40ge0p1rpd 12105 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 1) ∈ ℝ+)
4241rpred 12075 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐵) + 1) ∈ ℝ)
4310, 20mscl 22486 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋𝐷𝑌) ∈ ℝ)
445, 9, 17, 43syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) ∈ ℝ)
4542, 44remulcld 10272 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
4631rehalfcld 11481 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
4710, 12, 11, 13, 20, 36nlmdsdi 22705 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝐵𝐾𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) = ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)))
481, 8, 9, 17, 47syl13anc 1478 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) = ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)))
49 msxms 22479 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
505, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
5110, 20xmsge0 22488 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 0 ≤ (𝑋𝐷𝑌))
5250, 9, 17, 51syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋𝐷𝑌))
5338lep1d 11157 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) ≤ ((𝐴𝐵) + 1))
5438, 42, 44, 52, 53lemul1ad 11165 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐵) · (𝑋𝐷𝑌)) ≤ (((𝐴𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)))
5548, 54eqbrtrrd 4810 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) ≤ (((𝐴𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)))
56 nlmvscn.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < 𝑇)
57 nlmvscn.t . . . . . 6 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1))
5856, 57syl6breq 4827 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1)))
5944, 46, 41ltmuldiv2d 12123 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝑋𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1))))
6058, 59mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴𝐵) + 1) · (𝑋𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2))
6126, 45, 46, 55, 60lelttrd 10397 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) < (𝑅 / 2))
62 ngpms 22624 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ NrmGrp → 𝐹 ∈ MetSp)
6335, 62syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ MetSp)
64 nlmvscn.e . . . . . . 7 𝐸 = (dist‘𝐹)
6513, 64mscl 22486 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MetSp ∧ 𝐵𝐾𝐶𝐾) → (𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ)
6663, 8, 16, 65syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ)
67 nlmvscn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑊)
6810, 67nmcl 22640 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ ℝ)
693, 9, 68syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ ℝ)
7030rphalfcld 12087 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
7170, 41rpdivcld 12092 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝐴𝐵) + 1)) ∈ ℝ+)
7257, 71syl5eqel 2854 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
7372rpred 12075 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
7469, 73readdcld 10271 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ)
7566, 74remulcld 10272 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁𝑋) + 𝑇)) ∈ ℝ)
7610, 12, 11, 13, 20, 67, 64nlmdsdir 22706 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmMod ∧ (𝐵𝐾𝐶𝐾𝑌𝑉)) → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁𝑌)) = ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)))
771, 8, 16, 17, 76syl13anc 1478 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁𝑌)) = ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)))
7810, 67nmcl 22640 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁𝑌) ∈ ℝ)
793, 17, 78syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑌) ∈ ℝ)
80 msxms 22479 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MetSp → 𝐹 ∈ ∞MetSp)
8163, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ∞MetSp)
8213, 64xmsge0 22488 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐵𝐾𝐶𝐾) → 0 ≤ (𝐵𝐸𝐶))
8381, 8, 16, 82syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐸𝐶))
8479, 69resubcld 10660 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝑋)) ∈ ℝ)
85 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (-g𝑊) = (-g𝑊)
8610, 67, 85nm2dif 22649 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑉) → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝑋)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝑋)))
873, 17, 9, 86syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝑋)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝑋)))
8867, 10, 85, 20ngpdsr 22629 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝑋)))
893, 9, 17, 88syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝑋)))
9087, 89breqtrrd 4814 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝑋)) ≤ (𝑋𝐷𝑌))
9144, 73, 56ltled 10387 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) ≤ 𝑇)
9284, 44, 73, 90, 91letrd 10396 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝑋)) ≤ 𝑇)
9379, 69, 73lesubadd2d 10828 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁𝑌) − (𝑁𝑋)) ≤ 𝑇 ↔ (𝑁𝑌) ≤ ((𝑁𝑋) + 𝑇)))
9492, 93mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑌) ≤ ((𝑁𝑋) + 𝑇))
9579, 74, 66, 83, 94lemul2ad 11166 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · (𝑁𝑌)) ≤ ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁𝑋) + 𝑇)))
9677, 95eqbrtrrd 4810 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) ≤ ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁𝑋) + 𝑇)))
97 nlmvscn.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < 𝑈)
98 nlmvscn.u . . . . . 6 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇))
9997, 98syl6breq 4827 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇)))
100 0red 10243 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10110, 67nmge0 22641 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑋𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝑋))
1023, 9, 101syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝑋))
10369, 72ltaddrpd 12108 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑋) < ((𝑁𝑋) + 𝑇))
104100, 69, 74, 102, 103lelttrd 10397 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((𝑁𝑋) + 𝑇))
105 ltmuldiv 11098 . . . . . 6 (((𝐵𝐸𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁𝑋) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁𝑋) + 𝑇))) → (((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇))))
10666, 46, 74, 104, 105syl112anc 1480 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐸𝐶) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝑋) + 𝑇))))
10799, 106mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝐸𝐶) · ((𝑁𝑋) + 𝑇)) < (𝑅 / 2))
10828, 75, 46, 96, 107lelttrd 10397 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < (𝑅 / 2))
10926, 28, 31, 61, 108lt2halvesd 11482 . 2 (𝜑 → (((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐵 · 𝑌)) + ((𝐵 · 𝑌)𝐷(𝐶 · 𝑌))) < 𝑅)
11022, 29, 31, 33, 109lelttrd 10397 1 (𝜑 → ((𝐵 · 𝑋)𝐷(𝐶 · 𝑌)) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468   / cdiv 10886  2c2 11272  +crp 12035  Basecbs 16064  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  distcds 16158  -gcsg 17632  LModclmod 19073  ∞MetSpcxme 22342  MetSpcmt 22343  normcnm 22601  NrmGrpcngp 22602  NrmModcnlm 22605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-0g 16310  df-topgen 16312  df-xrs 16370  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-lmod 19075  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-xms 22345  df-ms 22346  df-nm 22607  df-ngp 22608  df-nrg 22610  df-nlm 22611
This theorem is referenced by:  nlmvscnlem1  22710
  Copyright terms: Public domain W3C validator