MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlly2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlly2i 21502
Description: Eliminate the neighborhood symbol from nllyi 21501. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nlly2i ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝑈𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑠,𝐴   𝑃,𝑠,𝑢   𝑈,𝑠,𝑢   𝐽,𝑠,𝑢

Proof of Theorem nlly2i
StepHypRef Expression
1 nllyi 21501 . 2 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))
2 simprrl 823 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝑠𝑈)
3 selpw 4310 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝒫 𝑈𝑠𝑈)
42, 3sylibr 224 . . . . 5 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑈)
5 simpl1 1228 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴)
6 nllytop 21499 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝐽 ∈ Top)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝐽 ∈ Top)
8 simprl 811 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
9 neii2 21135 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → ∃𝑢𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠))
107, 8, 9syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → ∃𝑢𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠))
11 simprl 811 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → {𝑃} ⊆ 𝑢)
12 simpll3 1259 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → 𝑃𝑈)
13 snssg 4460 . . . . . . . . . . 11 (𝑃𝑈 → (𝑃𝑢 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑢))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → (𝑃𝑢 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑢))
1511, 14mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → 𝑃𝑢)
16 simprr 813 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → 𝑢𝑠)
17 simprrr 824 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)
1817adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)
1915, 16, 183jca 1123 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) ∧ ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠)) → (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))
2019ex 449 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → (({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠) → (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)))
2120reximdv 3155 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → (∃𝑢𝐽 ({𝑃} ⊆ 𝑢𝑢𝑠) → ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)))
2210, 21mpd 15 . . . . 5 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))
234, 22jca 555 . . . 4 (((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)))
2423ex 449 . . 3 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) → ((𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}) ∧ (𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑈 ∧ ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))))
2524reximdv2 3153 . 2 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) → (∃𝑠 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})(𝑠𝑈 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝑈𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴)))
261, 25mpd 15 1 ((𝐽 ∈ 𝑛-Locally 𝐴𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝑈𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑠 ∧ (𝐽t 𝑠) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2140  wrex 3052  wss 3716  𝒫 cpw 4303  {csn 4322  cfv 6050  (class class class)co 6815  t crest 16304  Topctop 20921  neicnei 21124  𝑛-Locally cnlly 21491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-top 20922  df-nei 21125  df-nlly 21493
This theorem is referenced by:  restnlly  21508  nllyrest  21512  nllyidm  21515  cldllycmp  21521  txnlly  21663  txkgen  21678  xkococnlem  21685  connpconn  31546  cvmliftmolem2  31593  cvmlift3lem8  31637
  Copyright terms: Public domain W3C validator