HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nlelchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlelchi 29250
Description: The null space of a continuous linear functional is a closed subspace. Remark 3.8 of [Beran] p. 103. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ContFn
Assertion
Ref Expression
nlelchi (null‘𝑇) ∈ C

Proof of Theorem nlelchi
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlelch.1 . . 3 𝑇 ∈ LinFn
21nlelshi 29249 . 2 (null‘𝑇) ∈ S
3 vex 3343 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
43hlimveci 28377 . . . . 5 (𝑓𝑣 𝑥𝑥 ∈ ℋ)
54adantl 473 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
6 eqid 2760 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
76cnfldhaus 22809 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
87a1i 11 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus)
9 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
10 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (norm ∘ − ) = (norm ∘ − )
119, 10hhims 28359 . . . . . . . . . 10 (norm ∘ − ) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
12 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘(norm ∘ − )) = (MetOpen‘(norm ∘ − ))
139, 11, 12hhlm 28386 . . . . . . . . 9 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
14 resss 5580 . . . . . . . . 9 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1513, 14eqsstri 3776 . . . . . . . 8 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1615ssbri 4849 . . . . . . 7 (𝑓𝑣 𝑥𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝑥)
1716adantl 473 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝑥)
18 nlelch.2 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ ContFn
1910, 12, 6hhcnf 29094 . . . . . . . 8 ContFn = ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2018, 19eleqtri 2837 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (TopOpen‘ℂfld))
2120a1i 11 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2217, 21lmcn 21331 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑓)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))(𝑇𝑥))
231lnfnfi 29230 . . . . . . . . . 10 𝑇: ℋ⟶ℂ
24 ffvelrn 6521 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ (null‘𝑇))
2524adantlr 753 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ (null‘𝑇))
26 elnlfn2 29118 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ (𝑓𝑛) ∈ (null‘𝑇)) → (𝑇‘(𝑓𝑛)) = 0)
2723, 25, 26sylancr 698 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑓𝑛)) = 0)
28 fvco3 6438 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑓)‘𝑛) = (𝑇‘(𝑓𝑛)))
2928adantlr 753 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑓)‘𝑛) = (𝑇‘(𝑓𝑛)))
30 c0ex 10246 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
3130fvconst2 6634 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
3231adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
3327, 29, 323eqtr4d 2804 . . . . . . . 8 (((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑇𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛))
3433ralrimiva 3104 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛))
35 ffn 6206 . . . . . . . . . 10 (𝑇: ℋ⟶ℂ → 𝑇 Fn ℋ)
3623, 35ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑇 Fn ℋ
37 simpl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇))
382shssii 28400 . . . . . . . . . 10 (null‘𝑇) ⊆ ℋ
39 fss 6217 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ (null‘𝑇) ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
4037, 38, 39sylancl 697 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
41 fnfco 6230 . . . . . . . . 9 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → (𝑇𝑓) Fn ℕ)
4236, 40, 41sylancr 698 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑓) Fn ℕ)
4330fconst 6252 . . . . . . . . 9 (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
44 ffn 6206 . . . . . . . . 9 ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℕ × {0}) Fn ℕ
46 eqfnfv 6475 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑓) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → ((𝑇𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛)))
4742, 45, 46sylancl 697 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑇𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑇𝑓)‘𝑛) = ((ℕ × {0})‘𝑛)))
4834, 47mpbird 247 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑓) = (ℕ × {0}))
496cnfldtopon 22807 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
51 0cnd 10245 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 0 ∈ ℂ)
52 1zzd 11620 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
53 nnuz 11936 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
5453lmconst 21287 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
5550, 51, 52, 54syl3anc 1477 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
5648, 55eqbrtrd 4826 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑓)(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))0)
578, 22, 56lmmo 21406 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑥) = 0)
58 elnlfn 29117 . . . . 5 (𝑇: ℋ⟶ℂ → (𝑥 ∈ (null‘𝑇) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) = 0)))
5923, 58ax-mp 5 . . . 4 (𝑥 ∈ (null‘𝑇) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) = 0))
605, 57, 59sylanbrc 701 . . 3 ((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))
6160gen2 1872 . 2 𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))
62 isch2 28410 . 2 ((null‘𝑇) ∈ C ↔ ((null‘𝑇) ∈ S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶(null‘𝑇) ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ (null‘𝑇))))
632, 61, 62mpbir2an 993 1 (null‘𝑇) ∈ C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wal 1630   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wss 3715  {csn 4321  cop 4327   class class class wbr 4804   × cxp 5264  cres 5268  ccom 5270   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑚 cmap 8025  cc 10146  0cc0 10148  1c1 10149  cn 11232  cz 11589  TopOpenctopn 16304  MetOpencmopn 19958  fldccnfld 19968  TopOnctopon 20937   Cn ccn 21250  𝑡clm 21252  Hauscha 21334  chil 28106   + cva 28107   · csm 28108  normcno 28110   cmv 28112  𝑣 chli 28114   S csh 28115   C cch 28116  nullcnl 28139  ContFnccnfn 28140  LinFnclf 28141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228  ax-hilex 28186  ax-hfvadd 28187  ax-hvcom 28188  ax-hvass 28189  ax-hv0cl 28190  ax-hvaddid 28191  ax-hfvmul 28192  ax-hvmulid 28193  ax-hvmulass 28194  ax-hvdistr1 28195  ax-hvdistr2 28196  ax-hvmul0 28197  ax-hfi 28266  ax-his1 28269  ax-his2 28270  ax-his3 28271  ax-his4 28272
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-icc 12395  df-fz 12540  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-rest 16305  df-topn 16306  df-topgen 16326  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-lm 21255  df-haus 21341  df-xms 22346  df-ms 22347  df-grpo 27677  df-gid 27678  df-ginv 27679  df-gdiv 27680  df-ablo 27729  df-vc 27744  df-nv 27777  df-va 27780  df-ba 27781  df-sm 27782  df-0v 27783  df-vs 27784  df-nmcv 27785  df-ims 27786  df-hnorm 28155  df-hvsub 28158  df-hlim 28159  df-sh 28394  df-ch 28408  df-nlfn 29035  df-cnfn 29036  df-lnfn 29037
This theorem is referenced by:  riesz3i  29251
  Copyright terms: Public domain W3C validator