MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngtmnft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngtmnft 12202
Description: An extended real is not greater than minus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
ngtmnft (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))

Proof of Theorem ngtmnft
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10302 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
2 xrltnr 12158 . . . 4 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
31, 2ax-mp 5 . . 3 ¬ -∞ < -∞
4 breq2 4791 . . 3 (𝐴 = -∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
53, 4mtbiri 316 . 2 (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴)
6 mnfle 12174 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
7 xrleloe 12182 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴)))
81, 7mpan 670 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴)))
96, 8mpbid 222 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝐴 ∨ -∞ = 𝐴))
109ord 853 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (¬ -∞ < 𝐴 → -∞ = 𝐴))
11 eqcom 2778 . . 3 (-∞ = 𝐴𝐴 = -∞)
1210, 11syl6ib 241 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (¬ -∞ < 𝐴𝐴 = -∞))
135, 12impbid2 216 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4787  -∞cmnf 10278  *cxr 10279   < clt 10280  cle 10281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286
This theorem is referenced by:  xlemnf  12203  xrrebnd  12204  ge0nemnf  12209  xlt2add  12295  xrsdsreclblem  20007  xblpnfps  22420  xblpnf  22421  supxrnemnf  29874  itg2addnclem  33793  supxrgelem  40066  supxrge  40067  nemnftgtmnft  40073  infxrbnd2  40098
  Copyright terms: Public domain W3C validator