MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ngpocelbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ngpocelbl 22729
Description: Membership of an off-center vector in a ball in a normed module. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (Revised by AV, 14-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ngpocelbl.n 𝑁 = (norm‘𝐺)
ngpocelbl.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngpocelbl.p + = (+g𝐺)
ngpocelbl.d 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
ngpocelbl ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑁𝐴) < 𝑅))

Proof of Theorem ngpocelbl
StepHypRef Expression
1 nlmngp 22702 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ NrmGrp)
2 ngpocelbl.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 ngpocelbl.d . . . . . . . 8 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))
42, 3ngpmet 22628 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5 metxmet 22360 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
61, 4, 53syl 18 . . . . . 6 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
76anim1i 593 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
873adant3 1127 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*))
9 simp3l 1244 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝑃𝑋)
10 ngpgrp 22624 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
111, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ Grp)
12113ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
13 simp3 1133 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝑋𝐴𝑋))
14 3anass 1081 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)))
1512, 13, 14sylanbrc 701 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋))
16 ngpocelbl.p . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
172, 16grpcl 17651 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)
199, 18jca 555 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋))
208, 19jca 555 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)))
21 elbl2 22416 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
2220, 21syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅))
233oveqi 6827 . . . . . 6 (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))(𝑃 + 𝐴))
24 ovres 6966 . . . . . 6 ((𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃((dist‘𝐺) ↾ (𝑋 × 𝑋))(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
2523, 24syl5eq 2806 . . . . 5 ((𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
2619, 25syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)))
2713ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
28 ngpocelbl.n . . . . . 6 𝑁 = (norm‘𝐺)
29 eqid 2760 . . . . . 6 (-g𝐺) = (-g𝐺)
30 eqid 2760 . . . . . 6 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3128, 2, 29, 30ngpdsr 22630 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝑃 + 𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃)))
3227, 9, 18, 31syl3anc 1477 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃(dist‘𝐺)(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃)))
33 nlmlmod 22703 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ LMod)
34 lmodabl 19132 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ LMod → 𝐺 ∈ Abel)
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ NrmMod → 𝐺 ∈ Abel)
36353ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → 𝐺 ∈ Abel)
37 3anass 1081 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) ↔ (𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)))
3836, 13, 37sylanbrc 701 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋))
392, 16, 29ablpncan2 18441 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑃𝑋𝐴𝑋) → ((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃) = 𝐴)
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃) = 𝐴)
4140fveq2d 6357 . . . 4 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑁‘((𝑃 + 𝐴)(-g𝐺)𝑃)) = (𝑁𝐴))
4226, 32, 413eqtrd 2798 . . 3 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → (𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) = (𝑁𝐴))
4342breq1d 4814 . 2 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃𝐷(𝑃 + 𝐴)) < 𝑅 ↔ (𝑁𝐴) < 𝑅))
4422, 43bitrd 268 1 ((𝐺 ∈ NrmMod ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝑋𝐴𝑋)) → ((𝑃 + 𝐴) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑁𝐴) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804   × cxp 5264  cres 5268  cfv 6049  (class class class)co 6814  *cxr 10285   < clt 10286  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  distcds 16172  Grpcgrp 17643  -gcsg 17645  Abelcabl 18414  LModclmod 19085  ∞Metcxmt 19953  Metcme 19954  ballcbl 19955  normcnm 22602  NrmGrpcngp 22603  NrmModcnlm 22606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-topgen 16326  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-lmod 19087  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-xms 22346  df-ms 22347  df-nm 22608  df-ngp 22609  df-nlm 22612
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator